分数方程式。 ODZ。
注意！
追加があります
特別セクション 555 の資料。
「あまり…」を強く感じる方へ
そして、「とても…」という人のために）
私たちは方程式をマスターし続けます。 一次方程式と二次方程式を扱う方法はすでに知っています。 最後のビューが残ります 分数方程式. または、それらははるかに堅実とも呼ばれます- 分数有理方程式. 同じです。
分数方程式。
名前が示すように、これらの方程式には必ず分数が含まれます。 分数だけでなく、 分母不明. 少なくとも1つに。 例えば：
分母のみの場合は、思い出させてください 数字、これらは線形方程式です。
決定方法 分数方程式? まずは分数をなくそう！ その後、ほとんどの場合、方程式は線形または二次方程式に変わります。 場合によっては、5=5 のような恒等式や、7=2 のような誤った表現になることがあります。 しかし、これはめったに起こりません。 以下、それについて言及します。
しかし、分数を取り除く方法!? とてもシンプルです。 すべて同じ同一の変換を適用します。
方程式全体に同じ式を掛ける必要があります。 すべての分母が減少するように！ すべてがすぐに簡単になります。 例を挙げて説明します。 方程式を解く必要があるとしましょう:
彼らは小学校でどのように教えられましたか？ すべてを一方向に転送し、共通の分母などに減らします。 悪い夢なんて忘れて！ これは、分数式を加算または減算するときに行う必要があることです。 または、不平等を扱います。 そして方程式では、すべての分母を削減する機会を与える式で両方の部分をすぐに乗算します (つまり、本質的に共通の分母によって)。 そして、この表現は何ですか？
左側で、分母を減らすには、掛ける必要があります ×+2. 右側では、2 を掛ける必要があります。 2(x+2). 乗算します：
これは通常の分数の掛け算ですが、詳しく書きます。
まだ括弧を開けていないことに注意してください。 (x + 2)! したがって、全体として、私はそれを書きます：
左側は全体的に縮小 (x+2)、および右 2. 必要に応じて! 削減後、私たちは得る 線形方程式：
この方程式は誰でも解ける！ x = 2.
もう少し複雑な別の例を解いてみましょう:
3 = 3/1 を覚えていれば、 2x = 2x/ 1 は次のように記述できます。
また、分数から、あまり好きではないものを取り除きます。
分母を x で減らすには、分数に を掛ける必要があることがわかります。 (x - 2). そして、ユニットは私たちにとって邪魔になりません。 さて、掛けましょう。 全て左側と 全て右側：
再びブラケット (x - 2)私は明らかにしません。 ブラケット全体を 1 つの数字のように扱います。 これは常に実行する必要があります。そうしないと、何も削減されません。
深い満足感を持ってカットします (x - 2)定規で、分数なしで式を取得します。
そして、ブラケットを開きます。
同様のものを与え、すべてを左側に転送して取得します。
しかしその前に、他の問題を解決する方法を学びます。 興味のために。 ところで、それらのレーキ！
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レッスンの目的:
チュートリアル：
- 分数有理方程式の概念の形成;
- 分数有理方程式を解くさまざまな方法を検討する。
- 分数がゼロに等しいという条件を含めて、分数有理方程式を解くためのアルゴリズムを検討してください。
- アルゴリズムに従って分数有理方程式の解を教える。
- テスト作業を実施して、トピックの同化レベルを確認します。
現像：
- 獲得した知識を正しく操作し、論理的に考える能力の開発;
- 知的スキルと精神操作の開発 - 分析、統合、比較、一般化。
- イニシアチブの開発、決定を下す能力、そこで止まることはありません。
- 批判的思考の発達;
- 研究スキルの開発。
育成:
- 主題に対する認知的関心の教育;
- 教育上の問題を解決する際の自立の教育;
- 最終結果を達成するための意志と忍耐力の教育。
レッスンタイプ: レッスン - 新素材の説明。
授業中
1.組織的な瞬間。
こんにちは！ 黒板に方程式が書かれているので、よく見てください。 これらの方程式をすべて解くことができますか? そうでないのはどれで、その理由は何ですか?
左辺と右辺が分数有理式である方程式は、分数有理方程式と呼ばれます。 今日のレッスンでは何を勉強すると思いますか。 レッスンのトピックを策定します。 そこで、ノートを開いて、レッスンのトピック「分数有理方程式の解法」を書き留めます。
2. 知識の実現。 正面調査、クラスでの口述作業。
そして今、新しいトピックを研究するために必要な主な理論的資料を繰り返します。 次の質問に答えてください。
- 方程式とは ( 1 つまたは複数の変数との等価性.)
- 方程式 1 は何と呼ばれますか? ( 線形.) 線形方程式を解く方法。 ( 未知のものをすべて式の左側に移動し、すべての数値を右側に移動します。 似た条件を持ってきてください。 未知の乗数を見つける).
- 式 3 は何と呼ばれますか? ( 四角。) 二次方程式を解く方法。 ( ビエタの定理とその結果を使用した公式による完全な正方形の選択.)
- 割合とは何ですか？ ( 2 つの関係の等価性.) プロポーションの主要なプロパティ。 ( 比率が真の場合、極値項の積は中間項の積に等しくなります.)
- 方程式を解くために使用されるプロパティは何ですか? ( 1. 方程式内で項をある部分から別の部分に移し、その符号を変更すると、与えられたものと同等の方程式が得られます。 2. 方程式の両方の部分がゼロ以外の同じ数で乗算または除算される場合、与えられたものと同等の方程式が得られます。.)
- 分数がゼロに等しいのはいつですか? ( 分子がゼロで分母がゼロでない場合、分数はゼロです.)
3. 新素材の説明。
ノートとボードで式 2 を解きます。
答え: 10.
比例の基本的な性質を使って、どの分数有理方程式を解くことができますか? （第5号）。
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6
x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8
ノートとボードで式 4 を解きます。
答え: 1,5.
方程式の両辺に分母を掛けて解くことができる分数有理方程式は? （第6号）。
x 2 -7x+12 = 0
D=1>0、x 1 =3、x 2 =4。
答え: 3;4.
式 7 をいずれかの方法で解いてみましょう。
(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 |
x 2 -2x-5=x+5 |
||
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0 |
x 2 -2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0 |
|||
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0 |
|||
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49 |
|||
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2 |
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2 |
||
答え: 0;5;-2. |
答え: 5;-2. |
なぜこれが起こったのか説明してください。 ある場合には 3 つの根があり、別の場合には 2 つの根があるのはなぜですか? この分数有理方程式の根はいくつですか?
これまで、学生は無関係なルートの概念を理解していませんでした。なぜこれが起こったのかを理解することは非常に困難です。 クラスの誰もこの状況について明確に説明できない場合、教師は誘導的な質問をします。
- 式 2 と 4 は、式 5、6、7 とどう違うのですか? ( 数の分母の式No.2と4で、No.5-7 - 変数を使用した式.)
- 方程式の根は何ですか？ ( 方程式が真の等価になる変数の値.)
- 数値が方程式の根であるかどうかを調べる方法は? ( チェックを入れる.)
テストをするとき、何人かの生徒はゼロで割る必要があることに気づきます。 彼らは、数字の 0 と 5 はこの方程式の根ではないと結論付けています。 問題が発生します: このエラーを排除する分数有理方程式を解く方法はありますか? はい、この方法は分数がゼロに等しいという条件に基づいています。
x 2 -3x-10=0、D=49、x 1 =5、x 2 = -2。
x=5 の場合、x(x-5)=0 であるため、5 は余分な根です。
x=-2 の場合、x(x-5)≠0 です。
答え: -2.
このように分数有理方程式を解くアルゴリズムを定式化してみましょう。 子供たち自身がアルゴリズムを策定します。
分数有理方程式を解くためのアルゴリズム:
- すべてを左に移動します。
- 分数を共通の分母に合わせます。
- システムを構成します。分子がゼロで分母がゼロでない場合、分数はゼロです。
- 方程式を解きます。
- 不等式をチェックして、不要なルートを除外します。
- 答えを書き留めます。
議論: 比例の基本的な性質が使用され、共通の分母による方程式の両辺の乗算が使用される場合、解をどのように形式化するか。 （解決策を補足する：共通分母をゼロにするものを根から除外する）。
4. 新素材の一次理解。
ペアで作業します。 生徒は、方程式の種類に応じて、方程式の解き方を自分で選択します。 教科書「代数 8」、Yu.N からのタスク。 Makarychev、2007: No. 600 (b、c、i); No. 601(a、e、g)。 教師は、タスクのパフォーマンスを管理し、発生した質問に答え、成績の悪い生徒を支援します。 セルフテスト: ボードに答えが書かれています。
b) 2 は不要なルートです。 答え:3.
c) 2 は不要なルートです。 答え: 1.5.
a) 答え: -12.5.
g) 答え: 1; 1.5.
5. 宿題の提出。
- 教科書の項目 25 を読み、例 1 ～ 3 を分析します。
- 分数有理方程式を解くためのアルゴリズムを学びます。
- ノート No. 600 (a、d、e) で解決します。 No. 601 (g, h)。
- #696(a) を解決してみてください (オプション)。
6.研究されたトピックに関する制御タスクの達成。
作業はシートで行います。
ジョブ例:
A) 分数有理式の方程式はどれ?
B) 分子が ______________________ で分母が __________ の場合、分数はゼロです。
Q) 数 -3 は式 6 の根ですか?
D) 方程式 No. 7 を解きます。
タスクの評価基準:
- 学生がタスクの 90% 以上を正しく完了した場合、「5」が与えられます。
- "4" - 75% -89%
- "3" - 50% -74%
- 「2」は、タスクの 50% 未満を完了した学生に与えられます。
- 2級は日誌に載せず、3級は任意です。
7.反射。
独立した作品のリーフレットには、次のように記載してください。
- 1 - レッスンが興味深く、理解できた場合。
- 2 - 興味深いが明確ではない。
- 3 - 興味はありませんが、理解できます。
- 4 - 面白くない、はっきりしない。
8. レッスンのまとめ。
そのため、今日のレッスンでは、分数有理方程式に精通し、これらの方程式をさまざまな方法で解く方法を学び、教育的な独立した作業の助けを借りて知識をテストしました。 次のレッスンでは、独立した作業の結果を学びます。自宅で、得た知識を統合する機会があります。
あなたの意見では、分数有理方程式を解く方法は、より簡単で、よりアクセスしやすく、より合理的ですか? 分数有理方程式の解法に関係なく、忘れてはいけないことは何ですか? 分数有理方程式の「狡猾」とは何ですか?
おかげさまで授業が終わりました。
分数を含む方程式自体は難しくなく、非常に興味深いものです。 分数方程式の種類とその解き方を考えてみましょう。
分数で方程式を解く方法 - 分子の x
未知数が分子にある分数方程式が与えられた場合、解は追加の条件を必要とせず、不必要な手間をかけずに解かれます。 このような方程式の一般的な形式は、x/a + b = c です。ここで、x は未知数であり、a、b、c は通常の数です。
x を見つけます: x/5 + 10 = 70。
方程式を解くには、分数を取り除く必要があります。 式の各項に 5 を掛けます: 5x/5 + 5x10 = 70x5。 5x と 5 を減らし、10 と 70 を 5 倍すると、x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300 となります。
x を見つけます: x/5 + x/10 = 90。
この例は、最初の例を少し複雑にしたものです。 ここには 2 つの解決策があります。
- オプション 1: 方程式のすべての項に大きな分母、つまり 10 を掛けて分数を取り除きます: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300。
- オプション 2: 方程式の左辺を追加します。 x/5 + x/10 = 90。共通分母は 10 です。10 を 5 で割り、x を掛けると、2x になります。 10 を 10 で割って x を掛けると、x が得られます: 2x+x/10 = 90. したがって、2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300 となります。
多くの場合、x が等号の反対側にある分数方程式があります。 このような状況では、x を含むすべての分数を一方向に転送し、数字を別の方向に転送する必要があります。
- x を見つけます: 3x/5 = 130 - 2x/5.
- 2x/5 を反対の符号で右に移動します: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- 5x/5 を減らすと、x = 130 になります。
分数を含む方程式の解き方 - 分母に x
このタイプの分数方程式では、追加の条件を記述する必要があります。 これらの条件の表示は、正しい決定の必須かつ不可欠な部分です。 それらを帰属させないことにより、答えが（たとえそれが正しいとしても）単純にカウントされない可能性があるため、リスクを冒すことになります.
x を分母とする分数方程式の一般的な形式は次のとおりです。a/x + b = c、x は未知数、a、b、c は通常の数です。 x は任意の数値ではないことに注意してください。 たとえば、0 で割ることはできないため、x をゼロにすることはできません。 これはまさに、指定しなければならない追加の条件です。 これは許容値の範囲と呼ばれ、省略して ODZ と呼ばれます。
x を見つけます: 15/x + 18 = 21.
すぐに x の ODZ を書きます: x ≠ 0. ODZ が示されているので、標準スキームに従って方程式を解き、分数を取り除きます。 式のすべての項に x を掛けます。 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
多くの場合、分母に x だけでなく、足し算や引き算などの他の演算も含まれる方程式があります。
x を求めます: 15/(x-3) + 18 = 21.
分母がゼロに等しくないことは既にわかっています。つまり、x-3 ≠ 0 です。-3 を右辺に移し、「-」記号を「+」に変更すると、x ≠ 3 になります。ODZ は次のとおりです。示された。
方程式を解き、すべてに x-3 を掛けます: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.
x を右に、数字を左に移動します: 24 = 3x => x = 8.
方程式は、値が求められる文字を含む等式です。
方程式では、未知数は通常小文字のラテン文字で表されます。 最も一般的に使用される文字は、「x」[x] と「y」[y] です。
方程式を解いた後、常に答えの後にチェックを書き留めます。
保護者向け情報
親愛なる保護者の皆様、小学校と 5 年生の子供たちは「負の数」というトピックを知らないことに注意してください。
したがって、足し算、引き算、掛け算、割り算の性質のみを使用して方程式を解かなければなりません。 グレード 5 の方程式を解く方法を以下に示します。
数字や文字を方程式のある部分から別の部分に移して符号を変えて、方程式の解を説明しようとしないでください。
「算術の法則」のレッスンで、足し算、引き算、掛け算、割り算に関連する概念に関する知識をリフレッシュできます。
足し算と引き算の方程式を解く
未知を見つける方法
学期
未知を見つける方法
被減数
未知を見つける方法
減算
未知の項を見つけるには、合計から既知の項を引きます。
未知の被減数を見つけるには、差に減数を追加する必要があります。
未知の減数を見つけるには、被減数から差を引く必要があります。
x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
検査
x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
検査
16 − 2 = 14
14 = 14
5 − × = 3
x = 5 − 3
x=2
検査
掛け算と割り算の方程式を解く
未知を見つける方法
要素
未知を見つける方法
配当
未知を見つける方法
分周器
未知の因数を見つけるには、積を既知の因数で割る必要があります。
未知の被除数を見つけるには、商に除数を掛ける必要があります。
未知の除数を求めるには、被除数を商で割ります。
y 4 = 12
y=12:4
y=3
検査
y:7=2
y = 2 7
y=14
検査
8:y=4
y=8:4
y=2
検査
方程式は、符号を求める文字を含む方程式です。 方程式の解は、方程式を真の等価に変える一連の文字値です。
を解くために思い出してください。 方程式未知の項を等式の一部に転送し、数値項を他の部分に転送し、類似のものを持ってきて、次の等式を得る必要があります。
最後の等式から、「因子の 1 つは、商を 2 番目の因子で割った値に等しい」という規則に従って未知数を決定します。
有理数 a と b は同じ符号と異なる符号を持つ可能性があるため、未知数の符号は有理数の分割規則によって決定されます。
線形方程式を解く手順
括弧を開き、第 2 段階のアクション (乗算と除算) を実行して、線形方程式を単純化する必要があります。
未知数を等号の一方の側に移動し、数値を等号の反対側に移動して、指定された等号と同一になるようにします。
等号の左右に like を持ってきて、次の形式の等号を取得します。 斧 = b.
方程式の根を計算します (未知数を見つけます バツ平等から バツ = b : a),
与えられた式に未知数を代入してテストします。
数値の等式で恒等式が得られれば、方程式は正しく解かれます。
方程式を解く特殊なケース
- もしも 方程式が 0 に等しい積によって与えられる場合、それを解くために乗算の性質を使用します。
27 (バツ - 3) = 0
27 は 0 に等しくないので、 バツ - 3 = 0
2 番目の例には、方程式の 2 つの解があります。
これは 2 次方程式です。
方程式の係数が通常の分数の場合、まず分母を取り除く必要があります。 このため：
共通点を見つけます。
方程式の各項の追加係数を決定します。
分数と整数の分子に別の因数を掛け、分母を除いた方程式のすべての項を書き留めます (共通の分母は破棄できます)。
未知数を含む項を方程式の一部に移動し、数値項を等号から別の部分に移動して、同等の等号を取得します。
メンバーのようなものを持ってきてください。
方程式の基本的な性質
方程式のどの部分でも、同種の項を持ち込んだり、括弧を開くことができます。
方程式の任意の項は、その符号を反対に変更することにより、方程式のある部分から別の部分に移すことができます。
方程式の両辺には、0 を除く同じ数を掛ける (割り算する) ことができます。
上記の例では、そのすべてのプロパティを使用して方程式を解いています。
分数に未知数がある方程式を解く方法
線形方程式は次のような形をとることがあります。 知らない 1 つまたは複数の分数の分子に表示されます。 下の式のように。
このような場合、そのような方程式は 2 つの方法で解くことができます。
私は解決方法
方程式を比率に減らす
比例法を使用して方程式を解く場合、次の手順を実行する必要があります。
では、方程式に戻りましょう。 左側には分数が 1 つしかないので、変換は必要ありません。
方程式の右辺を扱います。 分数が 1 つだけ残るように、式の右辺を単純化します。 これを行うには、代数分数で数値を加算するための規則を思い出してください。
次に、比例則を使用して、方程式を最後まで解きます。
II 解決方法
分数のない線形方程式への還元
上記の方程式をもう一度考えて、別の方法で解いてください。
方程式には 2 つの分数があることがわかります」
分数で方程式を解く方法. 分数を含む方程式の指数解。
分数で方程式を解く例を見てみましょう。 例は単純でわかりやすいものです。 彼らの助けを借りて、最もわかりやすい方法で理解できます。
たとえば、単純な方程式 x/b + c = d を解く必要があります。
このタイプの方程式は線形と呼ばれます。 分母には数字のみが含まれます。
解は、方程式の両辺に b を掛けることによって実行され、方程式は x = b*(d – c) の形式になります。 左辺の分数の分母が減ります。
たとえば、分数方程式を解く方法は次のとおりです。
x/5+4=9
両方の部分に 5 を掛けると、次のようになります。
x+20=45
未知数が分母にある別の例:
このタイプの方程式は、分数有理数または単に分数と呼ばれます。
分数を取り除くことで分数方程式を解きます。その後、この方程式は、ほとんどの場合、通常の方法で解かれる線形または二次方程式に変わります。 次の点のみを考慮してください。
- 分母を 0 にする変数の値はルートにはなりません。
- 数式を式 =0 で除算または乗算することはできません。
ここで、許容値の領域（ODZ）などの概念が有効になります。これらは、方程式が意味をなす方程式の根の値です。
したがって、方程式を解くには、根を見つけて、それらが ODZ に準拠しているかどうかを確認する必要があります。 DHS に対応しないルートは回答から除外されます。
たとえば、分数方程式を解く必要があります。
上記の規則に基づいて、x を = 0 にすることはできません。 ODZ イン この場合: x - ゼロ以外の任意の値。
方程式のすべての項に x を掛けて、分母を取り除きます。
そして、通常の方程式を解きます
5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3
より複雑な方程式を解いてみましょう:
ここにも ODZ が存在します: x -2。
この方程式を解くと、すべてを一方向に転送して分数を共通の分母にすることはありません。 方程式の両辺に、すべての分母を一度に減らす式をただちに掛けます。
分母を減らすには、左辺に x + 2 を掛け、右辺に 2 を掛ける必要があります。したがって、式の両辺に 2 (x + 2) を掛ける必要があります。
これは、すでに上で説明した分数の最も一般的な乗算です。
同じ方程式を書きますが、少し異なる方法で書きます。
左辺は (x + 2)、右辺は 2 で縮小されます。縮小後、通常の線形方程式が得られます。
x \u003d 4 - 2 \u003d 2、これは ODZ に対応します
分数で方程式を解く見た目ほど難しくありません。 この記事では、これを例で示しました。 何かお困りのことがございましたら 分数で方程式を解く方法、コメントで登録解除してください。
分数を使って方程式を解く 5 年生
分数を含む方程式の解。 分数の問題を解く。
ドキュメントの内容を表示する
「分数を含む方程式を解く グレード 5」
- 分母が同じ分数の足し算。
- 分母が同じ分数の引き算。
分母が同じ分数の足し算。
分母が同じ分数を足すには、分子を足し、分母は同じままにします。
分母が同じ分数の引き算。
分母が同じ分数を引くには、被減数の分子から減数の分子を引き、分母は同じままにします。
方程式を解くときは、方程式を解くための規則、足し算と引き算の性質を使用する必要があります。
プロパティを使用して方程式を解く。
ルールを使用して方程式を解く。
式の左辺の式は合計です。
用語 + 用語 = 合計。
未知の項を見つけるには、合計から既知の項を引きます。
被減数 – 減数 = 差
未知の減数を見つけるには、被減数から差を引きます。
式の左辺の式が差です。
未知の被減数を見つけるには、差に減数を追加する必要があります。
方程式を解くためのルールの使用。
式の左側の式は合計です。
