さまざまな分母で乗算する方法。分数

§ 87. 分数の加算。

分数の加算は、整数の加算と多くの類似点があります。分数の加算は、いくつかの指定された数値 (項) が、すべての単位と項の単位の分数を含む 1 つの数値 (和) に結合されるという事実からなるアクションです。

次の 3 つのケースを順番に検討します。

1. 分母が似ている分数の加算。
2. 分母の異なる分数の加算。
3. 帯分数の加算。

1. 分母が似ている分数の加算。

1/5 + 2/5 の例を考えてみましょう。

セグメント AB (図 17) を 1 つとして 5 つの等しい部分に分割します。すると、このセグメントの部分 AC はセグメント AB の 1/5 に等しく、同じセグメントの部分 CD は以下に等しくなります。 AB 2/5

図面から、セグメント AD を取ると、それは 3/5 AB に等しいことが明らかです。ただし、セグメント AD は正確にセグメント AC と CD の合計です。したがって、次のように書くことができます。

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

これらの項とその結果の合計を考慮すると、合計の分子は項の分子を加算することによって取得され、分母は変更されていないことがわかります。

これから、次のルールが得られます。 同じ分母を持つ分数を加算するには、それらの分子を加算し、同じ分母を残す必要があります。

例を見てみましょう:

2. 分母の異なる分数の加算。

分数を足してみましょう: 3 / 4 + 3 / 8 まず、それらを最小公倍数に減らす必要があります。

中間リンク 6/8 + 3/8 を書き込めませんでした。わかりやすくするためにここに書きました。

したがって、分母の異なる分数を加算するには、まず分母を最小公倍数まで減算し、分子を加算して、共通分母にラベルを付ける必要があります。

例を考えてみましょう (対応する分数の上に追加の係数を書きます)。

3. 帯分数の加算。

数字を足してみましょう: 2 3/8 + 3 5/6。

まず、数値の小数部分を共通の分母にして、再度書き直してみましょう。

次に、整数部分と小数部分を順番に追加します。

§ 88. 分数の引き算。

分数の減算は、整数の減算と同じ方法で定義されます。これは、2 つの項とそのうちの 1 つの項の合計を考慮して、別の項を見つけるというアクションです。 3 つのケースを続けて考えてみましょう。

1. 分母が似ている分数の引き算。
2. 分母の異なる分数の引き算。
3. 帯分数の引き算。

1. 分母が似ている分数の引き算。

例を見てみましょう:

13 / 15 - 4 / 15

セグメント AB (図 18) を 1 つの単位として、15 等分に分割してみましょう。この場合、このセグメントの AC 部分は AB の 1/15 を表し、同じセグメントの AD 部分は 13/15 AB に対応します。 4/15 AB に等しい別のセグメント ED を確保しておきます。

13/15 から端数 4/15 を引く必要があります。図では、これはセグメント AD からセグメント ED を減算する必要があることを意味します。その結果、セグメント AB の 9/15 であるセグメント AE が残ります。したがって、次のように書くことができます。

私たちが作成した例は、差の分子は分子を減算することによって得られますが、分母は同じままであることを示しています。

したがって、分母が似ている分数を引くには、被減数の分子から減数の分子を引いて、同じ分母を残す必要があります。

2. 分母の異なる分数の引き算。

例。 3/4～5/8

まず、これらの分数を最小公倍数に分解してみます。

中間の 6 / 8 ～ 5 / 8 はわかりやすくするためにここに書かれていますが、後でスキップできます。

したがって、分数から分数を引くには、まず最小公倍数まで減算し、次に被減数の分子から被減数の分子を引き、その差の下にある共通分母に署名する必要があります。

例を見てみましょう:

3. 帯分数の引き算。

例。 10 3/4 - 7 2/3。

被減数と減数の小数部分を最小公倍数に減らしてみましょう。

全体から全体を引き、分数から分数を引きました。ただし、減数の小数部分が被減数の小数部分よりも大きい場合があります。このような場合は、被減数の全体部分から 1 単位を取り出し、小数部分が表現される部分に分割して、被減数の小数部分に加算する必要があります。その後、前の例と同じ方法で減算が実行されます。

§ 89. 分数の乗算。

分数の掛け算を学ぶときは、次の質問を考慮します。

1. 分数に整数を掛けます。
2. 指定された数値の小数部を求める。
3. 整数と分数を掛けます。
4. 分数と分数を掛けます。
5.帯分数の掛け算。
6. 興味の概念。
7. 指定された数値のパーセンテージを求める。順番に考えてみましょう。

1. 分数に整数を掛けます。

分数と整数の乗算は、整数と整数の乗算と同じ意味を持ちます。分数 (被乗数) と整数 (因数) を乗算することは、各項が被乗数に等しく、項の数が乗数に等しい、同一の項の合計を作成することを意味します。

つまり、1/9 に 7 を掛ける必要がある場合は、次のように行うことができます。

同じ分母を持つ分数を加算するだけの操作なので、簡単に結果が得られました。したがって、

この動作を考慮すると、分数に整数を掛けることは、この分数を整数内の単位の数だけ増やすことと同じであることがわかります。そして、分数を増やすことは分子を増やすことによって達成されます。

または分母を減らすことによっての場合、分子に整数を掛けるか、分母を整数で割ることが可能であれば、そのどちらかを行うことができます。

ここから次のルールが得られます。

分数に整数を掛けるには、分子にその整数を掛けて分母を同じままにするか、可能であれば、分子を変更せずに分母をその数値で割ります。

乗算する場合は、次のような省略形が可能です。

2. 指定された数値の小数部を求める。与えられた数値の一部を見つけたり、計算したりしなければならない問題がたくさんあります。これらの問題と他の問題の違いは、いくつかの物体または測定単位の数が与えられ、この数の一部 (ここでも特定の分数で示されています) を見つける必要があることです。理解を容易にするために、最初にそのような問題の例を挙げ、次にそれらを解決する方法を紹介します。

タスク1。私は60ルーブルを持っていました。このお金の1/3を本を買うのに使いました。本の値段はいくらでしたか？

タスク2。列車は都市 A と都市 B の間を 300 km に相当する距離を移動しなければなりません。彼はすでにこの距離の 2/3 を走行しました。ここは何キロですか?

タスク3.村には400軒の家があり、その4分の3がレンガ造り、残りが木造です。レンガ造りの家は全部で何軒ありますか?

これらは、特定の数値の一部を見つけるために遭遇する多くの問題の一部です。これらは通常、指定された数値の小数部を見つける問題と呼ばれます。

問題 1 の解決策。 60こするから。 1/3は本に費やしました。これは、書籍の価格を求めるには、60 を 3 で割る必要があることを意味します。

問題2を解決します。問題のポイントは、300 km のうち 2/3 を見つける必要があるということです。まず 300 の 1/3 を計算しましょう。これは 300 km を 3 で割ることで達成されます。

300: 3 = 100 (つまり 300 の 1/3)。

300 の 3 分の 2 を求めるには、結果の商を 2 倍にする、つまり 2 を掛ける必要があります。

100 x 2 = 200 (つまり 300 の 2/3)。

問題3を解決します。ここでは、400 戸の 3/4 を構成するレンガ造りの家の数を決定する必要があります。まず 400 戸の 1/4 を見つけます。

400: 4 = 100 (400 の 1/4)。

400 の 4 分の 3 を計算するには、結果の商を 3 倍、つまり 3 倍する必要があります。

100 x 3 = 300 (つまり 400 の 3/4)。

これらの問題の解決策に基づいて、次のルールを導き出すことができます。

指定された数値から分数の値を求めるには、この数値を分数の分母で割り、得られた商に分子を掛ける必要があります。

3. 整数と分数を掛けます。

以前に (§ 26)、整数の乗算は同一の項の加算として理解されるべきであることが確立されました (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20)。この段落 (ポイント 1) では、分数に整数を掛けることは、この分数に等しい同一項の合計を求めることを意味することが確立されました。

どちらの場合も、乗算は同一の項の合計を求めることで構成されます。

次に、整数と分数の掛け算に進みます。ここでは、たとえば、9 2 / 3 という掛け算に遭遇します。前述の乗算の定義がこの場合に当てはまらないことは明らかです。これは、このような乗算を等しい数を加算することで置き換えることができないという事実から明らかです。

このため、私たちは乗算の新しい定義を与える必要があります。つまり、分数による乗算によって何を理解すべきか、この動作をどのように理解すべきかという質問に答える必要があります。

整数に分数を掛けることの意味は、次の定義から明らかです。 整数 (被乗数) に分数 (被乗数) を掛けることは、被乗数のこの分数を求めることを意味します。

つまり、9 に 2/3 を掛けることは、9 単位の 2/3 を求めることを意味します。前の段落で、そのような問題は解決されました。したがって、最終的に 6 になることは簡単にわかります。

しかしここで、興味深い重要な疑問が生じます。等しい数の和を求めることと、数値の分数を求めるなど、一見異なる演算が、算術ではなぜ同じ「乗算」という言葉で呼ばれるのでしょうか?

これは、前のアクション (用語を含む数値を数回繰り返す) と新しいアクション (数値の小数部を求める) が同種の質問に対する答えを与えるために発生します。これは、ここでは、同種の質問やタスクは同じアクションによって解決されるという考察から進められることを意味します。

これを理解するために、次の問題を考えてみましょう。「1 メートルの布の値段は 50 ルーブルです。このような布4mはいくらになりますか？

この問題は、ルーブル数 (50) にメートル数 (4) を掛けることで解決されます。つまり、50 x 4 = 200 (ルーブル) となります。

同じ問題を考えてみましょう。ただし、この問題では布の量が分数で表されます。「布 1 メートルの値段は 50 ルーブルです。このような布の 3/4 メートルの値段はいくらですか?」

この問題は、ルーブル数 (50) にメートル数 (3/4) を掛けることによっても解決する必要があります。

問題の意味を変えることなく、その中の数字を何度か変更できます。たとえば、9/10 m や 2 3/10 m などです。

これらの問題は内容が同じで、数値が異なるだけであるため、問題を解くために使用されるアクションを同じ単語、つまり掛け算と呼びます。

整数に分数を掛けるにはどうすればよいですか?

最後の問題で出た数字を見てみましょう。

定義によれば、50 の 3/4 を見つける必要があります。最初に 50 の 1/4、次に 3/4 を見つけましょう。

50 の 1/4 は 50/4 です。

50 という数字の 3/4 はです。

したがって。

別の例を考えてみましょう: 12 5 / 8 =?

12という数字の1/8は12/8、

数字 12 の 5/8 はです。

したがって、

ここから次のルールが得られます。

整数と分数を掛けるには、整数に分数の分子を掛けてこの積を分子にし、この分数の分母を分母として符号を付ける必要があります。

このルールを文字を使って書いてみましょう。

この規則を完全に明確にするために、分数は商とみなされる可能性があることを覚えておく必要があります。したがって、見つかったルールを、§ 38 で規定されている数値と商の乗算ルールと比較すると便利です。

乗算を実行する前に、(可能であれば) 乗算を実行する必要があることを覚えておくことが重要です。削減、例えば：

4. 分数と分数を掛けます。分数と分数の乗算は、整数と分数の乗算と同じ意味を持ちます。つまり、分数と分数を乗算する場合、最初の分数 (被乗数) から因数に含まれる分数を見つける必要があります。

つまり、3/4 に 1/2 (半分) を掛けることは、3/4 の半分を求めることを意味します。

分数と分数をどのように掛けますか?

例を見てみましょう: 3/4 に 5/7 を掛けます。つまり、3/4 の 5/7 を見つける必要があります。まず 3/4 の 1/7、次に 5/7 を見つけてみましょう。

3/4 の 1/7 は次のように表されます。

5/7 の数 3/4 は次のように表されます。

したがって、

別の例: 5/8 に 4/9 を掛けます。

5/8の1/9は、

数字 5/8 の 4/9 はです。

したがって、

これらの例から、次の規則が推測できます。

分数と分数を掛けるには、分子と分子、分母と分母を掛けて、最初の積を分子にし、2 番目の積を積の分母にする必要があります。

このルールは次のような一般的な形式で書くことができます。

乗算するときは、（可能であれば）リダクションを行う必要があります。例を見てみましょう:

5.帯分数の掛け算。帯分数は仮分数で簡単に置き換えることができるため、通常、帯分数を乗算するときにこの状況が使用されます。これは、被乗数、乗数、またはその両方の因数が帯分数として表現されている場合、仮分数に置き換えられることを意味します。たとえば、帯分数 2 1/2 と 3 1/5 を掛けてみましょう。それぞれを仮分数に変換し、分数と分数の掛け算のルールに従って、結果の分数を掛けてみましょう。

ルール。帯分数を掛けるには、まず仮分数に変換してから、分数と分数の掛け算の規則に従って掛け算する必要があります。

注記。因数の 1 つが整数の場合、次のように分配法則に基づいて乗算を実行できます。

6. 興味の概念。問題を解いたり、さまざまな実践的な計算をしたりするとき、私たちはあらゆる種類の分数を使います。しかし、多くの数量では、任意の分割ではなく、自然な分割が可能であることを心に留めておく必要があります。たとえば、ルーブルの 100 分の 1 (1/100) を受け取ると 1 コペイカ、100 分の 2 は 2 コペイカ、100 分の 3 は 3 コペイカになります。 1 ルーブルの 10 分の 1 を受け取ると、「10 コペイカ」または 10 コペイカになります。1 ルーブルの 4 分の 1、つまり 25 コペイカ、または 1/2 ルーブル、つまり 50 コペイカ (50 コペイカ) を取ることができます。たとえば、ルーブルは 7 分の 1 に分割されていないため、ルーブルの 2/7 などは実際には受け取られません。

重量の単位、つまりキログラムでは、主に 1/10 kg や 100 g などの小数点以下の除算が可能ですが、1/6、1/11、1/13 などのキログラムの端数は一般的ではありません。

一般に、私たちの（メートル法）メジャーは 10 進数であり、小数点以下の除算が可能です。

ただし、数量を細分化する同じ (均一な) 方法を使用することは、さまざまな場合に非常に便利で便利であることに注意してください。長年の経験から、そのような十分に正当な分割が「100番目」の分割であることがわかっています。人間の実践の最も多様な領域に関連するいくつかの例を考えてみましょう。

1. 書籍の価格が以前の12/100に下がりました。

例。この本の以前の価格は10ルーブルでした。 1ルーブル減りました。 20コペイカ

2. 貯蓄銀行は、年間の貯蓄金額の 2/100 を預金者に支払います。

例。 500ルーブルがレジに預けられ、この金額からの年間収入は10ルーブルです。

3. 1 つの学校の卒業者数は全生徒数の 5/100 でした。

例この学校の生徒数はわずか 1,200 人で、そのうち 60 人が卒業しました。

数値の 100 分の 1 をパーセンテージといいます.

「パーセント」という言葉はラテン語から借用されたもので、その語源「セント」は100を意味します。前置詞 (pro centum) と合わせて、この単語は「100 のために」を意味します。この表現の意味は、当初、古代ローマでは利息が債務者が貸し手に「100 ごとに」支払ったお金に与えられた名前であったという事実に由来しています。「セント」という言葉は、セントナー (100 キログラム)、センチメートル (たとえばセンチメートル) などのよく知られた言葉で聞かれます。

たとえば、過去 1 か月間、その工場で生産された全製品の 1/100 に欠陥があったと言う代わりに、次のように言います。「先 1 か月間、その工場は 1 パーセントの欠陥を生産しました」とします。「工場は確立された計画よりも 4/100 多くの製品を生産した」と言う代わりに、「工場は計画を 4% 上回った」と言うでしょう。

上記の例は、別の方法で表現できます。

1. 本の価格は以前の価格より 12% 下がりました。

2. 貯蓄銀行は、貯蓄に預けられた金額に対して年間 2 パーセントを預金者に支払います。

3. 1 つの学校の卒業生の数は全学校生徒の 5% でした。

文字を短くするには、「パーセント」という単語の代わりに % 記号を書くのが一般的です。

ただし、計算では % 記号は通常は記述されませんが、問題文や最終結果には記述できることに注意してください。計算を実行するときは、この記号を使用して整数の代わりに分母が 100 の分数を書く必要があります。

示されたアイコンの整数を、分母が 100 の分数に置き換えることができる必要があります。

逆に、分母が 100 の分数ではなく、指定された記号を使用して整数を書くことに慣れる必要があります。

7. 指定された数値のパーセンテージを求める。

タスク1。学校は２００立方メートルを受け取った。 m の薪、そのうち白樺の薪が 30% を占めます。白樺の薪はどれくらいありましたか？

この問題の意味は、学校に届けられた薪のうち白樺の薪は一部のみであり、この部分は100分の30という端数で表されるということです。これは、数値の小数を見つけるタスクがあることを意味します。これを解くには、200 に 30/100 を掛けなければなりません (数値の小数を求める問題は、数値に小数を掛けることで解決されます)。

これは、200 の 30% が 60 に等しいことを意味します。

この問題で発生する端数 30/100 は 10 で減らすことができます。この削減を最初から行うことも可能です。問題の解決策は変わらないでしょう。

タスク2。キャンプにはさまざまな年齢の300人の子供たちがいました。 11 歳の子供が 21%、12 歳の子供が 61%、最後に 13 歳の子供が 18% を占めました。キャンプには各年齢の子供が何人いましたか?

この問題では、3 つの計算を実行する必要があります。つまり、11 歳、次に 12 歳、最後に 13 歳の子供の数を順番に求めます。

これは、ここでは数値の小数を 3 回求める必要があることを意味します。やりましょう：

1) 11 歳の子供は何人いましたか?

2) 12 歳の子供は何人いましたか?

3) 13 歳の子供は何人いましたか?

問題を解決した後、見つかった数値を加算すると便利です。それらの合計は 300 になるはずです。

63 + 183 + 54 = 300

問題ステートメントに示されているパーセンテージの合計が 100 であることにも注意してください。

21% + 61% + 18% = 100%

これは、キャンプ内の子供の総数を 100% としてみなしたことを示唆しています。

3 アダハア 3.労働者は月額 1,200 ルーブルを受け取りました。このうち、彼は65％を食料、6％をアパートと暖房、4％をガス、電気、ラジオ、10％を文化的ニーズに費やし、15％を貯蓄しました。タスクで示されたニーズにどれだけのお金が費やされましたか?

この問題を解くには、1,200 の分数を 5 回求める必要があります。これをやってみましょう。

1) 食費にどれくらいのお金を使いましたか? この問題は、この経費が総収入の 65%、つまり 1,200 の 65/100 であることを示しています。計算してみましょう。

2) 暖房付きのアパートにいくら支払いましたか? 前と同様に推論すると、次の計算に到達します。

3) ガス、電気、ラジオにいくら支払いましたか?

4) 文化的ニーズにどれだけのお金が費やされましたか?

5) その労働者はいくらお金を節約しましたか?

確認するには、これら 5 つの質問で見つかった数値を合計すると便利です。金額は1,200ルーブルでなければなりません。すべての収益は 100% としてみなされます。これは、問題文に示されているパーセンテージの数値を合計することで簡単に確認できます。

私たちは 3 つの問題を解決しました。これらの問題は異なる事柄（学校への薪の配達、さまざまな年齢の子供の数、労働者の経費）を扱っていたという事実にもかかわらず、同じ方法で解決されました。これは、すべての問題において、与えられた数値の数パーセントを見つける必要があるために起こりました。

§ 90. 分数の割り算。

分数の割り算を勉強する際に、次の質問について考えてみましょう。

1. 整数を整数で割ります。
2. 分数を整数で割る
3. 整数を分数で割ります。
4. 分数を分数で割る。
5.帯分数の割り算。
6. 与えられた分数から数値を求める。
7. パーセンテージによって数値を見つける。

順番に考えてみましょう。

1. 整数を整数で割ります。

整数の分野で示したように、割り算は、2 つの因数 (配当) とこれらの因数の 1 つ (除数) の積から、別の因数が見つかるという事実からなるアクションです。

整数のセクションでは、整数を整数で割ることについて説明しました。そこで私たちは、余りのない割り算、つまり「全体」 (150: 10 = 15) と、余りのある割り算 (100: 9 = 11 と 1 の余り) の 2 つの割り算に遭遇しました。したがって、整数の分野では、被除数が常に除数と整数の積であるとは限らないため、正確な除算が常に可能であるとは限らないと言えます。分数による乗算を導入した後は、可能な整数の除算のあらゆるケースを考慮できます (ゼロによる除算のみが除外されます)。

たとえば、7 を 12 で割るということは、12 と 12 の積が 7 に等しい数値を見つけることを意味します。7 / 12 12 = 7 であるため、そのような数値は分数 7 / 12 になります。別の例: 14 / 25 25 = 14 であるため、14: 25 = 14 / 25。

したがって、整数を整数で割るには、分子が被除数に等しく、分母が除数に等しい分数を作成する必要があります。

2. 分数を整数で割ります。

分数 6 / 7 を 3 で割ります。上記の除算の定義によれば、積 (6 / 7) と因数 (3) の 1 つが得られます。 3 を乗算すると、指定された積が 6/7 になる 2 番目の係数を見つける必要があります。明らかに、この製品よりも 3 倍小さいはずです。これは、私たちの前に設定された課題は、端数 6/7 を 3 倍減らすことであったことを意味します。

分数を減らすには、分子を減らすか、分母を増やすことで実行できることはすでにわかっています。したがって、次のように書くことができます。

この場合、分子 6 は 3 で割り切れるので、分子を 3 倍する必要があります。

別の例を見てみましょう。5 / 8 を 2 で割ります。ここで、分子の 5 は 2 で割り切れません。つまり、分母にこの数値を掛ける必要があります。

これに基づいて、次のようなルールを作成できます。 分数を整数で割るには、分数の分子をその整数で割る必要があります。（もし可能なら）、 同じ分母を残すか、同じ分子を残して分数の分母にこの数値を掛けます。

3. 整数を分数で割ります。

5 を 1/2 で割る必要があるとします。つまり、1/2 を掛けた後に積が 5 になる数を見つけます。1/2 は適切な分数であるため、この数は 5 より大きくなければなりません。、数値を乗算する場合、適切な分数の積は乗算される積より小さくなければなりません。これを明確にするために、アクションを次のように書きましょう: 5: 1 / 2 = バツ、つまり x 1 / 2 = 5 となります。

私たちはそのような数字を見つけなければなりませんバツ 1/2 を掛けると 5 になります。特定の数値に 1/2 を掛けるということは、この数値の 1/2 を求めることを意味するため、未知の数値の 1/2 になります。バツ 5 と整数に等しいバツ 2 倍、つまり 5 2 = 10。

つまり、5: 1 / 2 = 5 2 = 10

確認しよう：

別の例を見てみましょう。 6 を 2/3 で割るとします。まず、図面を使用して目的の結果を見つけてみましょう (図 19)。

図19

6 ユニットに等しい線分 AB を描き、各ユニットを 3 等分します。各ユニットでは、セグメント AB 全体の 3/3 (3/3) が 6 倍の大きさになります。 e. 3 月 18 日。小さな括弧を使用して、2 の結果として得られる 18 個のセグメントを接続します。セグメントは 9 つだけになります。これは、分数 2/3 が 6 単位に 9 回含まれること、つまり、分数 2/3 は 6 単位全体の 9 倍少ないことを意味します。したがって、

図面を使わずに計算のみを使用してこの結果を得るにはどうすればよいでしょうか? 次のように推論してみましょう: 6 を 2/3 で割る必要があります。つまり、2/3 は 6 に何回含まれるかという質問に答える必要があります。まず調べてみましょう: 1/3 は 6 に何回含まれますか? ユニット全体では 3 分の 3 があり、6 ユニットではさらに 6 倍、つまり 18 の 3 になります。この数を求めるには、6 に 3 を掛ける必要があります。これは、1/3 が b 単位に 18 回含まれ、2/3 が b 単位に含まれるのは 18 回ではなく、その半分であることを意味します。つまり、18: 2 = 9したがって、6 を 2/3 で割るときは次のようにしました。

ここから、整数を分数で割る規則が得られます。整数を分数で割るには、この整数に指定された分数の分母を掛け、この積を分子にして、指定された分数の分子で割る必要があります。

文字を使用してルールを書いてみましょう。

この規則を完全に明確にするために、分数は商とみなされる可能性があることを覚えておく必要があります。したがって、見つかった規則を、§ 38 で規定されている、数値を商で割る規則と比較すると便利です。そこでも同じ式が得られたことに注意してください。

分割する場合、次のような省略形が可能です。

4. 分数を分数で割る。

3/4 を 3/8 で割る必要があるとします。割り算の結果の数字は何を意味しますか? 分数 3/8 は分数 3/4 に何倍含まれるかという質問に答えます。この問題を理解するために、図を描いてみましょう (図 20)。

線分 AB を 1 つとして、4 つの等しい部分に分割し、そのような部分を 3 つマークしましょう。セグメント AC はセグメント AB の 3/4 に等しくなります。元の 4 つのセグメントをそれぞれ半分に分割すると、セグメント AB は 8 つの等しい部分に分割され、その各部分はセグメント AB の 1/8 に等しくなります。このような 3 つのセグメントを円弧で接続すると、セグメント AD と DC のそれぞれはセグメント AB の 3/8 に等しくなります。この図は、3/8 に等しいセグメントが 3/4 に等しいセグメントにちょうど 2 回含まれていることを示しています。これは、除算の結果は次のように記述できることを意味します。

3 / 4: 3 / 8 = 2

別の例を見てみましょう。 15/16 を 3/32 で割る必要があるとします。

次のように推論できます。3/32 を掛けた後、積が 15/16 に等しくなる数値を見つける必要があります。次のように計算を書いてみましょう。

15 / 16: 3 / 32 = バツ

3 / 32 バツ = 15 / 16

3/32 不明な番号バツ 15/16です

未知の数の 1/32 バツは、

32 / 32 の数字バツ補う。

したがって、

したがって、分数を分数で割るには、最初の分数の分子に 2 番目の分数の分母を掛け、最初の分数の分母に 2 番目の分数の分子を掛けて、最初の積を分子にする必要があります。そして2番目は分母です。

文字を使用してルールを書いてみましょう。

分割する場合、次のような省略形が可能です。

5.帯分数の割り算。

帯分数を割り算する場合は、まず仮分数に変換し、その結果得られた分数を分数の割り算の規則に従って割り算する必要があります。例を見てみましょう:

帯分数を仮分数に変換してみましょう。

では、分けてみましょう:

したがって、帯分数を割り算するには、仮分数に変換してから、分数の割り算の法則を使って割り算する必要があります。

6. 与えられた分数から数値を求める。

さまざまな分数の問題の中には、未知の数の分数の値が与えられ、その数値を見つける必要があるものもあります。このタイプの問題は、指定された数値の小数部を求める問題の逆になります。そこでは数値が与えられ、この数値の一部を見つける必要がありましたが、ここでは数値の一部が与えられ、この数値自体を見つけることが必要でした。この種の問題の解決に目を向けると、この考え方はさらに明確になります。

タスク1。初日、ガラス職人は建設された家の全窓の 1/3 に相当する 50 個の窓をガラス張りしました。この家には窓が何個ありますか。

解決。この問題は、50 枚のガラス窓が家のすべての窓の 1/3 を占めることを示しています。つまり、合計で 3 倍の窓があることになります。

その家には150の窓がありました。

タスク2。この店では 1,500 kg の小麦粉を販売しましたが、これは店が保有していた小麦粉の総在庫量の 3/8 に相当します。店に最初に供給された小麦粉はいくらでしたか?

解決。問題の状況から、販売された小麦粉 1,500 kg が在庫総量の 3/8 を占めることは明らかです。これは、この準備金の 1/8 が 3 分の 1 になることを意味します。つまり、計算するには、1500 を 3 分の 1 に減らす必要があります。

1,500: 3 = 500 (これは予備の 1/8)。

明らかに、全体の供給量は 8 倍になります。したがって、

500 8 = 4,000 (kg)。

店舗の小麦粉の初期在庫は 4,000 kg でした。

この問題を考慮すると、次の法則が導き出されます。

分数の指定された値から数値を求めるには、この値を分数の分子で割り、その結果に分数の分母を掛けるだけで十分です。

分数を与えられた数値を求める 2 つの問題を解決しました。このような問題は、特に最後の問題から明らかなように、除算 (一部が見つかった場合) と乗算 (整数が見つかった場合) の 2 つのアクションによって解決されます。

しかし、分数の割り算を学んだ後は、上記の問題は 1 つのアクション、つまり分数による割り算で解決できます。

たとえば、最後のタスクは次のように 1 つのアクションで解決できます。

将来的には、割り算という 1 つのアクションで分数から数値を求める問題を解決する予定です。

7. パーセンテージによって数値を見つける。

これらの問題では、その数の数パーセントを知っている数を見つける必要があります。

タスク1。今年の初めに私は貯蓄銀行から60ルーブルを受け取りました。 1年前に貯蓄した金額からの収入。貯蓄銀行にいくら預けましたか? (キャッシュデスクでは預金者に年間 2% の利益が与えられます。)

問題の要点は、私が一定額のお金を貯蓄銀行に預け、そこに1年間留まったということです。 1年後、私は彼女から60ルーブルを受け取りました。収入は私が預けたお金の100分の2です。私はいくらお金を注ぎましたか？

したがって、このお金の一部を 2 つの方法 (ルーブルと端数) で表して知ると、まだ未知の金額全体を見つける必要があります。これは、分数が与えられた数値を求める一般的な問題です。次の問題は除算によって解決されます。

これは、3,000 ルーブルが貯蓄銀行に預けられたことを意味します。

タスク2。漁師たちは 2 週間で月次計画を 64% 達成し、512 トンの魚を収穫しました。彼らの計画は何だったのでしょうか？

問題の状況から、漁師たちが計画の一部を完了したことがわかっています。この部分は512トンに相当し、計画の64％となる。計画に従って何トンの魚を準備する必要があるかわかりません。この数字を見つけると問題が解決します。

このような問題は割り算によって解決されます。

これは、計画によれば、800トンの魚を準備する必要があることを意味します。

タスク3.列車はリガからモスクワまで行きました。 276キロメートルを通過したとき、乗客の1人が通りすがりの車掌に、すでにどのくらいの距離を移動したのかと尋ねた。これに対して車掌は「すでに全行程の30％を走行しました」と答えた。リガからモスクワまでの距離はどのくらいですか?

問題の状況から、リガからモスクワまでのルートの 30% が 276 km であることは明らかです。これらの都市間の距離全体を見つける必要があります。つまり、この部分については、次の全体を見つけます。

§ 91. 逆数。割り算を掛け算に置き換えます。

分数 2/3 を取り出し、分母の代わりに分子を置き換えると、3/2 が得られます。この分数の逆数を求めました。

特定の分数の逆数を取得するには、分母の代わりに分子を置き、分子の代わりに分母を置く必要があります。このようにして、任意の分数の逆数を求めることができます。例えば：

3/4、リバース4/3。 5/6、リバース6/5

最初の分数の分子が 2 番目の分数の分母であり、最初の分数の分母が 2 番目の分数の分子であるという性質を持つ 2 つの分数をと呼びます。 相互に反転します。

では、1/2の逆数は何分数になるかを考えてみましょう。明らかに、それは 2 / 1、または単なる 2 になります。指定されたものの逆分数を探すことで、整数が得られます。そして、このケースは孤立したものではありません。逆に、分子が 1 のすべての分数では、逆数は整数になります。次に例を示します。

1/3、リバース3。 1/5、リバース5

逆分数を求める際に整数にも遭遇したため、以下では逆分数ではなく逆数について説明します。

整数の逆数を書く方法を考えてみましょう。分数の場合、これは簡単に解決できます。分子の代わりに分母を置く必要があります。同様に、整数の分母は 1 になるため、整数の逆数を求めることができます。これは、7 = 7/1 であるため、7 の逆数は 1/7 になることを意味します。数値 10 の場合、10 = 10/1 であるため、逆数は 1/10 になります。

この考えは別の方法で表現できます。 指定された数の逆数は、1 を指定された数で割ることによって得られます。このステートメントは整数だけでなく分数にも当てはまります。実際、分数 5/9 の逆数を書く必要がある場合は、1 を 5/9 で割ることができます。

さて、一つ指摘しておきますが、財産逆数、これは私たちに役立ちます: 逆数の積は 1 に等しい。確かに：

この性質を利用すると、次のように逆数を求めることができます。 8 の逆数を見つける必要があるとします。

文字で表しましょうバツ、次に8 バツ = 1、したがってバツ = 1/8。 7/12 の逆数である別の数字を見つけて、それを文字で表してみましょうバツ、その後7/12 バツ = 1、したがってバツ = 1:7 / 12 またはバツ = 12 / 7 .

ここでは、分数の割り算についての情報を少し補足するために、逆数の概念を導入しました。

数字の 6 を 3/5 で割ると、次のようになります。

式に特に注意して、指定された式と比較してください。

前の式と関係なく、この式を個別に考えると、それがどこから来たのかという問題、つまり 6 を 3/5 で割る、または 6 に 5/3 を掛けるという問題を解決することは不可能です。どちらの場合でも同じことが起こります。したがって、次のように言えます。 ある数値を別の数値で除算することは、被除数に除数の逆数を乗算することで置き換えることができるということです。

以下に示す例は、この結論を完全に裏付けています。

分数と分数、または分数と数値を正しく乗算するには、簡単なルールを知っておく必要があります。次に、これらのルールを詳細に分析します。

普通の分数と分数を掛けます。

分数と分数を掛けるには、これらの分数の分子の積と分母の積を計算する必要があります。

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

例を見てみましょう:
最初の分数の分子と 2 番目の分数の分子を掛け、また、最初の分数の分母と 2 番目の分数の分母を掛けます。

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ 3 倍)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)

小数 \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) は 3 減りました。

分数に数値を掛けます。

まずはルールを覚えましょう 任意の数値は分数 \(\bf n = \frac(n)(1)\) として表すことができます。

乗算するときはこのルールを使用しましょう。

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

仮分数 \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) を帯分数に変換します。

言い換えると、 数値に分数を掛けるときは、数値に分子を掛け、分母は変更しません。例：

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

帯分数の掛け算。

帯分数を乗算するには、まず各帯分数を仮分数として表し、次に乗算規則を使用する必要があります。 分子と分子を掛け、分母と分母を掛けます。

例：
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

逆数の分数と数値の乗算。

分数 \(\bf \frac(a)(b)\) は、a≠0,b≠0 の場合、分数 \(\bf \frac(b)(a)\) の逆数です。
分数 \(\bf \frac(a)(b)\) と \(\bf \frac(b)(a)\) は逆分数と呼ばれます。 逆数の積は 1 に等しくなります。
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

例：
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

関連する質問:
分数と分数を掛けるにはどうすればよいですか?
答え: 普通の分数の積は、分子と分子、分母と分母の掛け算です。帯分数の積を求めるには、仮分数に変換し、規則に従って乗算する必要があります。

分母の異なる分数を掛けるにはどうすればよいでしょうか?
答え: 分数の分母が同じか異なるかは問題ではありません。掛け算は、分子と分子、分母と分母の積を求めるルールに従って行われます。

帯分数のかけ算はどうやって行うのですか?
答え: まず、帯分数を仮分数に変換し、次に乗算の規則を使用して積を求める必要があります。

数値に分数を掛けるにはどうすればよいですか?
答え: 数値に分子を掛けますが、分母はそのままにします。

例 #1:
積を計算します。 a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)

解決：
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color(赤) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

例2:
数値と分数の積を計算します。 a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

解決：
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

例 #3:
分数 \(\frac(1)(3)\) の逆数を書きますか?
答え: \(\frac(3)(1) = 3\)

例 #4:
2 つの相互に逆数の分数の積を計算します。 a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

解決：
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

例5:
逆分数は次のようになります。
a) 適切な分数と同時に。
b) 同時に仮分数。
c) 同時に自然数か?

解決：
a) 最初の質問に答えるために、例を挙げてみましょう。分数 \(\frac(2)(3)\) は適切で、その逆分数は \(\frac(3)(2)\) に等しくなります。これは仮分数です。答え: いいえ。

b) ほとんどすべての分数の列挙ではこの条件は満たされませんが、同時に仮分数であるという条件を満たす数がいくつかあります。たとえば、仮分数は \(\frac(3)(3)\) で、その逆分数は \(\frac(3)(3)\) に等しくなります。 2 つの仮分数が得られます。回答: 特定の条件下では、分子と分母が等しいとは限りません。

c) 自然数とは、たとえば、1、2、3、…など、数を数えるときに使用する数です。数値 \(3 = \frac(3)(1)\) をとった場合、その逆分数は \(\frac(1)(3)\) になります。分数 \(\frac(1)(3)\) は自然数ではありません。すべての数値を調べた場合、その数値の逆数は 1 を除いて常に分数になります。数値 1 を取ると、その逆数は \(\frac(1)(1) = \frac(1) になります。 )(1) = 1\)。数字 1 は自然数です。答え: これらは 1 つの場合にのみ、同時に自然数になることができます。これが数値 1 である場合です。

例6:
帯分数の積を計算します。 a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ ）

解決：
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

例7:
2 つの逆数を同時に帯分数にすることはできますか?

例を見てみましょう。帯分数 \(1\frac(1)(2)\) を考えて、その逆分数を見つけてみましょう。これを行うには、それを仮分数 \(1\frac(1)(2) = \frac(3) に変換します。 )(2) \) 。その逆分数は \(\frac(2)(3)\) に等しくなります。分数 \(\frac(2)(3)\) は固有の分数です。答え: 相互に反転した 2 つの分数を同時に帯分数にすることはできません。

通常の分数で実行できるもう 1 つの演算は乗算です。問題を解く際の基本的なルールを説明し、普通の分数に自然数を掛ける方法と、3 つ以上の普通の分数を正しく掛ける方法を示します。

まず基本的なルールを書き留めましょう。

定義 1

1 つの普通の分数を掛けると、結果の分数の分子は元の分数の分子の積に等しく、分母はそれらの分母の積に等しくなります。リテラル形式では、2 つの分数 a / b および c / d について、これは a b · c d = a · c b · d として表すことができます。

このルールを正しく適用する方法の例を見てみましょう。一辺が 1 つの数値単位に等しい正方形があるとします。すると図形の面積は1平方メートルになります。ユニット。この正方形を辺が 1 4 および 1 8 の数値単位に等しい等しい長方形に分割すると、32 個の長方形で構成されていることがわかります (8 4 = 32 であるため)。したがって、それらのそれぞれの面積は、図全体の面積の1 32に等しくなります。 1 32平方メートル単位。

5 8 数値単位と 3 4 数値単位に等しい辺を持つ影付きのフラグメントがあります。したがって、その面積を計算するには、最初の分数に 2 番目の分数を掛ける必要があります。 5 8 · 3 4 平方に等しくなります。単位。しかし、断片に含まれる長方形の数を単純に数えることができます。それらは 15 個あり、合計面積は 15 × 32 平方単位であることを意味します。

5 3 = 15 および 8 4 = 32 なので、次の等式を書くことができます。

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

これは、普通の分数を乗算するために定式化した規則 (a b · c d = a · c b · d) を裏付けるものです。これは、適正分数と仮分数の両方で同じように機能します。異なる分母と同一の分母の両方をもつ分数の乗算に使用できます。

普通の分数の掛け算を含むいくつかの問題の解決策を見てみましょう。

例1

7 11 に 9 8 を掛けます。

解決

まず、7 と 9 を掛けて、指定された分数の分子の積を計算しましょう。 63 になりました。次に、分母の積を計算すると、11 · 8 = 88 が得られます。 2 つの数字を合成すると、答えは 63 88 になります。

ソリューション全体は次のように記述できます。

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

答え： 7 11 · 9 8 = 63 88。

答えに約分が得られた場合は、計算を完了して約分を実行する必要があります。不適切な分数が得られた場合は、そこから部分全体を分離する必要があります。

例 2

分数の積を計算する４１５および５５６．

解決

上で検討したルールによれば、分子と分子を乗算し、分母と分母を乗算する必要があります。ソリューションレコードは次のようになります。

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

可約分数が得られました。 10で割り切れるもの。

分数を約してみましょう: 220 90 gcd (220, 90) = 10、220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9。その結果、仮分数が得られ、そこから部分全体を選択して帯分数を取得します: 22 9 = 2 4 9。

答え： 4 15 55 6 = 2 4 9。

計算を容易にするために、乗算演算を実行する前に元の分数を減らすこともできます。そのためには、分数を a · c b · d の形式に減らす必要があります。変数の値を単純な因子に分解し、同じものを減らしてみましょう。

特定のタスクのデータを使用して、これがどのようなものかを説明してみましょう。

例 3

積 4 15 55 6 を計算します。

解決

掛け算のルールに基づいた計算を書いてみましょう。私たちは得るだろう：

4 15 55 6 = 4 55 15 6

4 = 2 2、55 = 5 11、15 = 3 5、6 = 2 3 なので、4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 となります。

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

答え: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 。

通常の分数を乗算する数値式には可換性の性質があります。つまり、必要に応じて因数の順序を変更できます。

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

分数と自然数を掛ける方法

早速、基本的なルールを書き出して、実際に説明してみましょう。

定義 2

共通の分数に自然数を掛けるには、その分数の分子にその数値を掛ける必要があります。この場合、最後の分数の分母は元の普通分数の分母と等しくなります。特定の分数 a b と自然数 n の乗算は、式 a b · n = a · n b として書くことができます。

任意の自然数は、分母が 1 に等しい通常の分数として表現できることを覚えておくと、この式を簡単に理解できます。

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

具体的な例を挙げて私たちの考え方を説明しましょう。

例 4

積 2 の 27 掛ける 5 を計算します。

解決

元の分数の分子に 2 番目の係数を乗算した結果、10 が得られます。上記のルールにより、結果として 10 27 が得られます。ソリューション全体はこの投稿に記載されています。

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

答え： 2 27 5 = 10 27

自然数に分数を掛けるとき、結果を省略したり、帯分数として表したりする必要があることがよくあります。

例5

条件: 8 x 5 12 の積を計算します。

解決

上記のルールに従って、自然数に分子を掛けます。その結果、5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 が得られます。最後の分数には 2 で割り切れる兆候があるため、これを約分する必要があります。

LCM (40, 12) = 4、つまり 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

あとは、部分全体を選択して、用意された答えを書き留めるだけです: 10 3 = 3 1 3。

このエントリでは、解全体: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 を確認できます。

分子と分母を素因数分解して分数を減らすこともでき、結果はまったく同じになります。

答え： 5 12 8 = 3 1 3。

自然数に分数を乗算する数値式にも変位の特性があります。つまり、因数の順序は結果に影響しません。

a b · n = n · a b = a · n b

3 つ以上の公分数の掛け方

自然数の乗算に特徴的なのと同じ性質を、通常の分数の乗算の動作に拡張することができます。これは、これらの概念の定義そのものから導かれます。

結合と可換性の知識のおかげで、3 つ以上の普通の分数を掛けることができます。利便性を高めるために係数を再配置したり、数えやすいように括弧を配置したりすることは許容されます。

これがどのように行われるかを例で示してみましょう。

例6

4 つの公用分数 1 20、12 5、3 7、5 8 を掛けます。

解決策: まず、作業を記録しましょう。 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 となります。すべての分子とすべての分母を掛け合わせる必要があります: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 。

掛け算を開始する前に、作業を少し楽にして、いくつかの数値を素因数に因数分解してさらに削減することができます。これは、すでに準備ができている結果の部分を減らすよりも簡単です。

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

答え： 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280。

例 7

5 つの数字 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 を掛けます。

解決

便宜上、分数 7 8 を数値 8 とグループ化し、数値 12 を分数 5 36 とグループ化することができます。これは、将来の略語が明らかになるためです。結果として、以下が得られます。
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

答え： 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3。

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分数の掛け算と割り算。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

この演算は加算と減算よりもはるかに優れています。そのほうが簡単だからです。分数と分数を掛けるには、分子 (これが結果の分子になります) と分母 (これが分母になります) を掛ける必要があることに注意してください。あれは：

例えば：

すべてが非常にシンプルです。そして、共通点を探さないでください。ここには彼は必要ありません...

分数を分数で割るには、逆算する必要があります。 2番(これは重要です!) 分数と乗算を行います。つまり、次のようになります。

例えば：

整数や分数の掛け算や割り算が出てきても大丈夫です。足し算と同じように、分母に 1 を入れた整数から分数を作ります。例えば：

高校では、3 階建て (または 4 階建て!) の分数を扱わなければならないことがよくあります。例えば：

この部分をまともに見せるにはどうすればよいでしょうか? はい、とてもシンプルです！ 2 点除算を使用します。

ただし、分割の順序を忘れないでください。掛け算とは異なり、ここでは非常に重要です。もちろん、4:2 と 2:4 を混同することはありません。しかし、3 階建ての部分では間違いを犯しやすいです。たとえば次の点に注意してください。

最初のケース (左側の式):

2 番目の式 (右側の式):

違いを感じますか？ 4と1/9！

分割の順序は何によって決まりますか? 括弧を使用するか、(ここのように) 水平線の長さを使用します。目を養いましょう。括弧やダッシュがない場合は、次のようになります。

次に、割り算と掛け算をします 左から右の順に!

そしてもう1つの非常にシンプルで重要なテクニック。度を伴うアクションでは、それは非常に役立ちます。 1 を任意の分数、たとえば 13/15 で割ってみましょう。

ショットがひっくり返った！そして、これは常に起こります。 1 を任意の分数で割ると、結果は同じ分数になりますが、上下が逆になるだけです。

分数を使った演算は以上です。事は非常に単純ですが、十分すぎるほどのエラーが発生します。実践的なアドバイスを考慮に入れると、間違い（間違い）が少なくなります。

実践的なヒント:

1. 分数式を扱うときに最も重要なことは、正確さと注意力です。これらは一般的な言葉ではなく、良い願いでもありません。これは切実な必需品です！統一国家試験のすべての計算は、集中的かつ明確な本格的なタスクとして実行してください。暗算でめちゃくちゃになるよりは、下書きに 2 行余分に書いたほうが良いでしょう。

2. さまざまな種類の分数を使用した例では、通常の分数に進みます。

3. すべての分数を止まるまで減らします。

4. 2 点による除算を使用して、複数レベルの分数式を通常の分数式に還元します (割り算の順序に従います)。

5. 頭の中で単位を分数で割ります。分数をひっくり返すだけです。

必ず完了しなければならないタスクは次のとおりです。答えはすべてのタスクの後に与えられます。このトピックと実践的なヒントに関する資料を使用してください。正しく解くことができた例題の数を見積もってください。 初めて！ 電卓なしでも！ そして正しい結論を導き出します...

覚えておいてください - 正しい答えは 2回目（特に3回目）以降に受け取ったものはカウントされません！それが過酷な人生なのです。

それで、 試験モードで解く ！ちなみに、これはすでに統一国家試験の準備です。例題を解いて確認し、次の問題を解きます。私たちはすべてを決定しました - 最初から最後まで再度確認しました。だけ それから答えを見てください。

計算します:

決めましたか？

あなたに合った回答を探しています。いわば、誘惑から遠ざけて、わざと混乱した状態でそれらを書き留めました... ここに、セミコロンで書かれた答えがあります。

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

さて、結論を導き出します。すべてがうまくいったなら、私はあなたにとって幸せです！分数を使った基本的な計算は問題ありません。もっと本格的なこともできますよ。そうでない場合は...

したがって、2 つの問題のうちの 1 つが発生します。またはその両方を同時に。）知識の欠如と（または）不注意。しかしこれは 解決可能な 問題。

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前回は、分数の足し算と引き算を学習しました (レッスン「分数の足し算と引き算」を参照)。これらのアクションの最も困難な部分は、分数を共通の分母にすることでした。

今度は掛け算と割り算を扱います。幸いなことに、これらの演算は加算や減算よりもさらに単純です。まず、整数部分が分離されていない 2 つの正の分数がある、という最も単純なケースを考えてみましょう。

2 つの分数を乗算するには、それらの分子と分母を別々に乗算する必要があります。最初の数値が新しい分数の分子となり、2 番目の数値が分母になります。

2 つの分数を除算するには、最初の分数に「反転した」2 番目の分数を掛ける必要があります。

指定：

定義から、分数の除算は乗算に帰着することがわかります。分数を「反転」するには、分子と分母を入れ替えるだけです。したがって、このレッスンでは主に掛け算を考えていきます。

乗算の結果、約分数が発生する可能性があります (実際に発生することもよくあります)。もちろん、これは約分する必要があります。すべての縮小の結果、分数が正しくないことが判明した場合は、部分全体を強調表示する必要があります。しかし、乗算で絶対に起こらないのは、共通の分母への還元です。つまり、交差法はなく、最大因数と最小公倍数です。

定義により、次のようになります。

分数と整数部および負の分数の乗算

分数に整数部分が含まれている場合は、それらを不適切なものに変換し、上で概説したスキームに従って乗算する必要があります。

分数の分子、分母、またはその前にマイナスがある場合、次の規則に従って、乗算から除外したり、完全に削除したりできます。

プラスとマイナスはマイナスになります。
2 つの否定が肯定になります。

これまで、これらのルールは、負の分数を加算および減算する場合、つまり部分全体を削除する必要がある場合にのみ適用されていました。作品の場合、いくつかの欠点を一度に「燃やす」ために一般化できます。

ネガが完全に消えるまで、ペアでネガを取り消します。極端な場合には、1 つのマイナス、つまり相手がいなかったマイナスが生き残る可能性があります。
マイナスが残っていない場合、操作は完了です。乗算を開始できます。最後のマイナスに対応するペアがなかったために取り消し線が引かれていない場合は、それを乗算の範囲外とします。結果は負の分数になります。