円錐。錐台

円錐面は、特定の曲線の各点と曲線の外側の点を通過するすべての直線によって形成される曲面です (図 32)。

この曲線は次のように呼ばれます ガイド 、真っ直ぐ - 形にする 、ドット - 上円錐面。

まっすぐな円錐面与えられた円の各点を通過するすべての直線と、円の平面に垂直でその中心を通過する直線上の点によって形成される表面です。以下では、この表面を簡単に呼びます 円錐面 (図33)。

円錐 (真っ直ぐな円錐 ) は、円錐面とガイド円の平面に平行な平面によって境界付けられる幾何学的ボディです (図 34)。

米。 32 図 33 図 34

円錐は、直角三角形を、三角形の脚の 1 つを含む軸の周りに回転させることによって得られる物体と考えることができます。

円錐を囲む円はその円錐と呼ばれます基礎。円錐面の頂点は次のように呼ばれます。上円錐円錐の頂点と底面の中心を結ぶ線分を身長円錐円錐面を形成するセグメントは次のように呼ばれます。 形にする 円錐軸円錐の頂点と底面の中心を通る直線です。 軸方向断面 円錐の軸を通る部分をいいます。 側面展開図 円錐は扇形と呼ばれ、その半径は円錐の母線の長さに等しく、扇形の円弧の長さは円錐の底面の円周に等しい。

円錐の正しい公式は次のとおりです。

どこ R– ベース半径;

H- 身長;

私– 母線の長さ。

Sベース– ベースエリア;

S側

Sフル

V– コーンのボリューム。

円錐台底面と円錐の底面に平行な切断面との間に囲まれた円錐の部分と呼ばれます (図 35)。

円錐台は、直方体台形を、台形の底辺に垂直な辺を含む軸の周りに回転させることによって得られる体と考えることができます。

円錐を囲む 2 つの円を円錐と呼びます。理由 . 身長円錐台の距離は、その底面間の距離です。円錐台の円錐面を形成するセグメントは、 形にする 。底辺の中心を通る直線を軸円錐台。 軸方向断面 円錐台の軸を通る断面と呼ばれます。

円錐台の場合、正しい公式は次のとおりです。

(8)

どこ R– 下底の半径;

r– 上底の半径;

H– 高さ、l – 母線の長さ。

S側– 横表面積;

Sフル– 総表面積;

V– 円錐台の体積。

例1.底面に平行な円錐の断面は、高さを上から数えて 1:3 の比率で分割します。底面の半径と円錐の高さが9cmと12cmの場合の円錐台の側表面積を求めます。

解決。絵を描いてみましょう (図 36)。

円錐台の側面の面積を計算するには、式(8)を使用します。底辺の半径を求めてみましょう 約1Aそして 約1Vそして形成 AB。

相似な三角形を考える SO2Bそして SO1A、類似係数、そして

ここから

それ以来

円錐台の側表面積は次のようになります。

答え： .

例2。半径の 4 分の 1 円を円錐面に折り曲げます。底面の半径と円錐の高さを求めます。

解決。円の四分円は円錐の側面を展開したものです。と表しましょう r– ベースの半径、 H –身長。次の式を使用して側表面積を計算してみましょう。それは 4 分の 1 円の面積に等しい: 。 2 つの未知数を含む方程式が得られます rそして私（円錐を形成します）。この場合、母線は 4 分の 1 円の半径に等しい Rこれは、次の方程式が得られることを意味します: , ここで、ベースとジェネレーターの半径がわかれば、円錐の高さがわかります。

答え： 2cm、。

例 3.鋭角が 45°、底辺が 3 cm で、傾斜辺がに等しい長方形台形が、底辺に垂直な辺の周りを回転します。結果として得られる回転体の体積を求めます。

解決。絵を描いてみましょう (図 37)。

回転の結果、円錐台が得られます。その体積を求めるために、大きい方の底面の半径と高さを計算します。空中ブランコで O1O2AB私たちが実施します AC^O1B。 B: これは、この三角形が二等辺であることを意味します 交流。=紀元前=3cm。

答え：

例4.辺が 13 cm、37 cm、40 cm の三角形が、大きい方の辺と平行で、そこから 3 cm の距離にある外部軸の周りを回転します (軸は三角形の平面内にあります)。結果として得られる回転体の表面積を求めます。

解決 . 絵を描いてみましょう (図 38)。

結果として生じる回転体の表面は、2 つの円錐台の側面と円柱の側面で構成されます。これらの面積を計算するには、円錐と円柱の底面の半径を知る必要があります( なれそして O.C.)、錐体を形成 ( 紀元前そして 交流。) とシリンダー高さ ( AB）。唯一不明なのは、 CO. これは、三角形の辺から回転軸までの距離です。見つけます直流。三角形ABCの1辺の面積は、辺ABの半分とそこに描かれた高度の積に等しい直流一方、三角形のすべての辺がわかっているので、ヘロンの公式を使用してその面積を計算します。

1 点 ( ピーク円錐）を通過し、平面を通過します。場合によっては、円錐は、頂点と平面の点を接続するすべてのセグメントを結合することによって得られるそのような体の一部になります (この場合、後者はと呼ばれます)。基礎コーン、そしてコーンは呼ばれます 傾いているこれに基づいて）。特に明記されていない限り、これは以下で考慮されるケースです。円錐の底面が多角形の場合、円錐はピラミッドになります。

"== 関連する定義 ==

頂点と底辺の境界を結ぶ線分をといいます。 円錐の母線.
円錐のジェネレーターの結合は次のように呼ばれます。母線（または側) 円錐面。円錐の形成面は円錐面である。
頂点からベースの平面に垂直に落ちたセグメント (およびそのようなセグメントの長さ) は、と呼ばれます。 円錐の高さ.
円錐の底面に対称の中心があり (たとえば、円や楕円)、円錐の頂点の底面への正射影がこの中心と一致する場合、その円錐は次のように呼ばれます。直接。この場合、頂点と底辺の中心を結んだ直線を 円錐軸.
斜め (傾いた) 円錐 - 頂点の底面への直交投影が対称中心と一致しない円錐。
円錐- 底面が円である円錐。
まっすぐな円錐(単に円錐と呼ばれることも多い) は、脚を含む線 (この線は円錐の軸を表します) を中心に直角三角形を回転させることによって取得できます。
楕円、放物線、または双曲線の上にある円錐はそれぞれ呼ばれます 楕円形の, 放物線状そして 双曲円錐(最後の 2 つは無限のボリュームです)。
底面と底面に平行な平面の間にあり、頂部と底面の間にある円錐の部分をと呼びます。 円錐台.

プロパティ

底面の面積が有限である場合、円錐の体積も有限であり、高さと底面の面積の積の 3 分の 1 に等しくなります。したがって、所定の底面上に置かれ、その底面に平行な所定の平面上に頂点が位置するすべての円錐は、高さが等しいため、等しい体積を持ちます。
有限の体積を持つ円錐の重心は、底面からの高さの 4 分の 1 の位置にあります。
直円錐の頂点の立体角は次のようになります。

どこ - 開き角度円錐（つまり、円錐の軸と側面の直線との間の角度の 2 倍）。

このような円錐の側表面積は次のようになります。

ここで、は底辺の半径、は母線の長さです。

円錐の体積は以下に等しい

平面と直円錐の交点は、円錐断面の 1 つです (非縮退の場合、切断面の位置に応じて、楕円、放物線、または双曲線)。

一般化

代数幾何学では円錐フィールド上のベクトル空間の任意のサブセットです。

こちらも参照

コーン (トポロジー)

ウィキメディア財団。 2010年。

他の辞書で「真っ直ぐな円錐」が何であるかを見てください。

まっすぐな円錐形。直接と... ウィキペディア

直円錐円錐は、1 点 (円錐の頂点) から発し、平面を通過するすべての光線を組み合わせて得られる体です。場合によっては、円錐は、接続されているすべてのセグメントを組み合わせることによって得られるそのような体の一部である... ウィキペディア

円錐- まっすぐな円錐。 CONE (ラテン語 conus、ギリシャ語 konos cone に由来)、丸い円錐面と円錐面の上部を通らない平面によって境界付けられる幾何学的本体。頂点が上にある場合は…… 図解百科事典

- (ラテン語 conus、ギリシャ語 konos)。直線の反転によって形成される表面で囲まれた物体。その一端は静止し (円錐の頂点)、もう一端は所定の曲線の円周に沿って移動します。シュガーローフのように見えます。外来語辞典、…… ロシア語外来語辞典

円錐- (1) 初等幾何学において、ガイド (円錐の底部) に沿った固定点 (円錐の上部) を通る直線の移動 (円錐を生成) によって形成される表面によって制限される幾何学的本体。形成された表面は... ポリテクニック大百科事典

- 脚の 1 つを中心とした直角三角形の回転によって形成される (直線円形の) 幾何学的な本体。斜辺はジェネレーターと呼ばれます。固定脚の高さ。底部を備えた回転脚によって描かれる円。側面K…… ブロックハウスとエフロンの百科事典

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- 脚の 1 つを中心とした直角三角形の回転によって形成される (直線円形の) 幾何学的な本体。斜辺はジェネレーターと呼ばれます。固定脚の高さ。底部を備えた回転脚によって描かれる円。側面K... 百科事典 F.A. ブロックハウスと I.A. エフロン

- (ラテン語 conus、ギリシャ語 konos から) (数学)、1) K.、または円錐面、特定の線 (ガイド) のすべての点と特定の点 (頂点) を接続する空間の直線 (母線) の幾何学的軌跡スペースの…… ソビエト大百科事典

底面に平行な面で小さな円錐を円錐から切り取ると、円錐台が得られます (図 8.10)。円錐台には 2 つの底面があります: 「下部」 - 元の円錐の底面 - と「上部」 - 切り取られた円錐の底面です。円錐断面の定理によると、円錐台の底面は類似しています。。

円錐台の高度は、ある底面の点から別の底面の面に引いた垂線です。このような垂線はすべて等しい (セクション 3.5 を参照)。高さは長さ、つまり底面間の距離とも呼ばれます。

回転円錐台は回転円錐から得られます (図 8.11)。したがって、その底面とそれに平行なすべての部分は、同じ直線上、つまり軸上に中心を持つ円になります。回転円錐台は、長方形台形をその底面に垂直な辺を中心に回転させるか、回転させることによって得られます。

対称軸の周りの等脚台形 (図 8.12)。

回転円錐台の側面

これは、回転円錐の側面の一部であり、そこから導き出されます。回転円錐台の表面 (またはその全表面) は、その底面と側面で構成されます。

8.5。回転円錐と回転円錐台の画像。

このようにまっすぐな円錐が描かれます。まず、底辺の円を表す楕円を描きます(図8.13)。次に、基底の中心である点 O を見つけ、円錐の高さを表す垂直線分 PO を描きます。点 P から、楕円への接線 (基準) を描きます (実際には、定規を使用して目で行います)。点 P から接線 A および B までのこれらの線の線分 RA および PB を選択します。線分 AB に注意してください。はベースコーンの直径ではなく、三角形 ARV はコーンの軸方向断面ではありません。円錐の軸方向の断面は三角形 APC です。線分 AC は点 O を通過します。目に見えない線はストロークで描かれます。セグメント OP は描画されないことが多く、基点 O の中心の真上の円錐 P の上部を描くために頭の中で輪郭が描かれるだけです。

回転円錐台を描く場合、最初に円錐台の元となる円錐を描くと便利です (図 8.14)。

8.6. 円錐セクション。平面が楕円に沿って回転する円筒の側面と交差することはすでに述べました (セクション 6.4)。また、回転円錐の底面と交わらない平面による側面の断面は楕円です(図8.15)。したがって、楕円は円錐断面と呼ばれます。

円錐曲線には、他のよく知られた曲線、双曲線や放物線も含まれます。回転円錐の側面を延長して得られる無制限の円錐を考えてみましょう (図 8.16)。頂点を通らない平面 a で交差させてみましょう。 a が円錐のすべての母線と交差する場合、このセクションでは、すでに述べたように、楕円が得られます (図 8.15)。

OS 平面を回転すると、(OS が平行な) 1 つを除く、円錐 K のすべての母線と確実に交差するようになります。次に、断面では放物線が得られます(図8.17)。最後に、平面 OS をさらに回転させて、円錐 K の母線と交差する部分である a が、他の無数の母線と交差せず、そのうちの 2 つと平行になるような位置に移動します (図 8.18)。）。次に、平面 a を含む円錐 K の断面で、双曲線と呼ばれる曲線 (より正確には、その「枝」の 1 つ) が得られます。したがって、関数のグラフである双曲線は、円が楕円の特殊な場合と同様に、双曲線の特殊な場合、つまり正双曲線です。

円の平行投影によって楕円が得られるのと同じように、投影を使用して正双曲線から任意の双曲線を得ることができます。

双曲線の両方の枝を得るには、2 つの「空洞」を持つ円錐の一部を取得する必要があります。つまり、光線ではなく、円錐の側面の母線を含む直線によって形成される円錐です。革命（図8.19）。

円錐断面は古代ギリシャの幾何学者によって研究され、彼らの理論は古代幾何学の頂点の 1 つでした。古代における円錐断面の最も完全な研究は、ペルガのアポロニウス (紀元前 3 世紀) によって行われました。

楕円、双曲線、放物線を 1 つのクラスに結合する重要なプロパティが多数あります。たとえば、「非縮退」、つまり、次の形式の方程式によってデカルト座標の平面上に定義される、点、線、または線のペアに還元できない曲線を網羅します。

円錐断面は自然界で重要な役割を果たします。物体は重力場内で楕円、放物線、双曲線の軌道を描きます (ケプラーの法則を思い出してください)。円錐断面の顕著な特性は、科学や技術、たとえば特定の光学機器やサーチライトの製造によく使用されます (サーチライトの鏡の表面は、放物線の円弧を放物線の軸を中心に回転させることによって得られます) ）。円錐形のセクションは、丸いランプシェードの影の境界として観察できます (図 8.20)。

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