慣性軸。主軸と主慣性モーメント主軸強度

式 (6.22) – (6.25) から、軸が回転すると慣性モーメントが変化することがわかりますが、 軸方向モーメントの合計は一定のままです.

したがって、1 つの軸を基準とした場合、慣性モーメントの値は次のようになります。最大、その後は比較的異なります - 一番小さい。この場合 遠心モーメントこれらの軸と比較すると、次のようになります。 ゼロに等しい.

主な中心軸重心を通過し、それに対する遠心モーメントがゼロに等しい軸と呼ばれます。また、それら (軸) に対する軸モーメントは極値特性を持ち、次のように呼ばれます。主要な中心慣性モーメント。 1つの主軸に対して慣性モーメントが最小になります。意味 – , 他のものと比較して、最大のものです。

これらの軸を文字で表します あなたそして v。上の文を証明してみましょう。軸を持たせましょうバツそして y– 非対称セクションの中心軸 (図 6.12)。

遠心モーメントがゼロになる角度だけ中心軸を回転させて主軸の位置を決めましょう。

次に式 (6.25) より

. (6.26)

式 (6.26) は主軸の位置を決定します。ここで、は主軸になるように中心軸を回転させる必要がある角度です。負の角度は軸から時計回りにプロットされますバツ.

ここで、主軸と比較して、軸方向慣性モーメントが極度になる特性があることを示します。式 (式 6.22) の導関数を計算し、それをゼロとみなしてみましょう。

(6.27)

式 (6.27) と (6.25) を比較すると、次のことがわかります。

これは、極値には主軸の周りの慣性モーメントがあることを意味します。 あなたそして v。次に、式 (6.22) および (6.23) に従って、次のようになります。

(6.28)

式 (6.28) を使用して決定します。 主要な中心慣性モーメント。

式 (6.28) を項ごとに追加すると、明らかに、です。式 (6.28) から角度を除外すると、主な中心慣性モーメントのより便利な式が得られます。

(6.29) の 2 番目の項の前の「+」記号はを指し、「-」記号はを指します。

特殊な場合について覚えておくと便利です。

図にある場合 2 つの対称軸、すると、これらの軸は次のようになります。 主な中心軸。

2.通常のフィギュアの場合 – 2つ以上の対称軸を持つ正三角形、正方形、円など、すべての中心軸が主軸であり、 そしてそれらに対する慣性モーメントは互いに等しい。

主な中心軸の位置を見つけて計算し、決定するために必要な能力 断面の最大剛性の面(その軌跡は軸と一致します) 曲げを計算するとき (第 7 章)。

35. 主要な中心を決定するための一般的な手順

瞬間。

必須とさせてください 主中心軸の位置を見つけるそして、チャネルとストリップで構成される平らな部分の慣性モーメントを計算します (図 6.13)。

任意の座標系を描画します xOy.

断面を単純な図形に分割し、式(6.5)を使用して重心の位置を決定します。と.

組み合わせまたは公式を使用して、単純な図形の中心軸に対する慣性モーメントを求めます。

ポイントを通してと中心軸を引く ×cそして y c単純な図形の軸に平行です。

平行移動公式(6.13)を使用して、断面の中心軸に対する単純な図形の慣性モーメントを求めます。

セクション全体の中心慣性モーメントを、ステップ 5 で求めた対応する単純図形のモーメントの合計として決定します。

式(6.26)を使用して角度を計算し、軸を回転させます。 ×cそして y c斜めに主軸を描く あなたそして v.

式 (6.29) を使用してとを計算します。

チェック中：

b) の場合;

36) 主な中心慣性モーメントを決定するための一般的な手順。例：

1. 図形に 2 つの対称軸がある場合、これらの軸が GCO になります。

2. 通常の図形（軸が 2 つ以上ある）の場合、すべての軸がメインになります。

3.補助軸（X’O’Y’）を描く

4. このセクションを単純な図に分割し、それぞれの CO を示します。

5. 式 (21) を使用して GCO の位置を見つけます。

6. 式(23)を使用してGCM値を計算します。

Imax + Imin = Ix + Iy

· Imax >Ix>Iy>Iminif Ix>Iy

Iuv = Ix-Iy/2 sin2a + Ixycos2a +0

式 21:Tg2a = - 2Ixy/Ix - Iy

式 23: Imax、Imin = *

37) 曲げる。曲げの種類の分類。真っ直ぐで綺麗な曲がり。ビーム変形の写真。中立層と軸。基本的な仮定。

曲げとは、断面に曲げモーメントＭｘが生じる変形である。曲げビームに作用するビーム

曲げの種類:

純粋な曲げは、断面に曲げモーメントのみが発生する場合に発生します。

横方向の曲げ - モーメントと同時に横方向の力が発生した場合

フラット - すべての荷重が同じ平面上にあります

空間 - すべての荷重が異なる縦方向の平面にある場合

直接 - 力の平面が慣性の主軸の 1 つと一致する場合

斜め - フォースプレーンが主軸のいずれとも一致しない場合

純粋な曲げの領域での変形の結果として、次のことがわかります。

縦方向の繊維は円弧に沿って曲がり、一部は短くなり、他の繊維は長くなります。それらの間には、長さが変わらない繊維の層があります - 中立層 (n.s.)、断面との交線は中立軸 (n.a.) と呼ばれます。

縦方向の繊維間の距離は変化しない

断面は直線のまま、一定の角度で回転します。

仮定:

1. 縦方向の繊維を互いに押し付けることにより、つまり各繊維は単純な引張または圧縮の状態にあり、垂直応力Ϭの出現を伴います。

2. ベルヌーイ仮説の妥当性について、つまり変形前に平らで軸に垂直なビーム断面は、変形後も平らで軸に垂直なままである

車軸、遠心慣性モーメントがゼロに等しいものを主軸(時々呼ばれます 主慣性軸）。一般的な場合、断面平面内の任意の点を介して、一対の主軸を描画できます (特殊な場合には、主軸が無限に存在する可能性があります)。この記述の妥当性を検証するために、軸が 90 インチ回転したときに遠心慣性モーメントがどのように変化するかを考えてみましょう (図 b.7)。xOy の第 1 象限で取得した任意の面積 dA について、座標系は両方とも座標なので、その積は正になります。元の座標系に対して 90 インチ回転した新しい座標系 x,Oy では、問題のサイトの座標の積は負になります。 絶対値この積は変化しません、つまり、xy = - x1y、です。明らかに , 他の基本サイトにも同じことが当てはまります。これは、セクションの遠心慣性モーメントである dAxy の合計の符号が、軸が 90 インチ回転すると反対に変化することを意味します。つまり、J = = - J です。

軸の回転中に遠心慣性モーメントが変化します 継続的に、したがって、軸の特定の位置ではゼロに等しくなります。これらの軸は、 主なもの。

主軸はセクションの任意の点を通って描画できることを確認しましたが、実際に重要となるのはセクションの重心を通過する軸だけです。 主な中心軸。以下では、原則として、簡潔にするために単にそれらを呼びます。 主軸、「中心」という言葉を省略しました。

任意形状のセクションの一般的な場合、主軸の位置を決定するには、特別な調査を行う必要があります。ここでは、少なくとも 1 つの対称軸を持つセクションの特殊なケースを考慮することに限定します (図 6.8)。

ご案内いたします。断面の重心は、対称軸 Oy に垂直な Ox 軸であり、遠心慣性モーメント J を決定します。数学の過程で知られる定積分の性質 (和の積分) を使用しましょう。は積分の合計に等しい) であり、 J を 2 つの項の形式で表します。

なぜなら、対称軸の右側に位置する基本領域には、対応する要素領域が左側にあり、その座標の積は符号のみが異なります。

したがって、Ox 軸と Oy 軸に対する遠心慣性モーメントはゼロに等しいことがわかりました。 主軸。したがって、対称セクションの主軸を見つけるには、その重心の位置を見つけるだけで十分です。主な中心軸の 1 つは対称軸であり、2 番目の軸はそれに垂直です。もちろん、対称軸に垂直な軸が断面の重心を通過しない場合、つまり断面の重心を通過しない場合、上記の証明は有効のままです。 対称軸とそれに垂直な軸は、主軸系を形成します。

すでに示したように、中心以外の主軸は重要ではありません。

主中心軸の周りの軸方向慣性モーメントは次のように呼ばれます。 メインセントラル(略してメイン) 慣性モーメント。慣性モーメントは、主軸の一方に対して最大となり、もう一方に対して最小になります。たとえば、図に示されているセクションの場合、 6.8、最大慣性モーメントJ

(Ox 軸に対して)。もちろん、主慣性モーメントの極限について話すときは、それを通過する軸に対して相対的に計算された他の慣性モーメントとの比較のみを意味します。 同じセクションポイント。したがって、主慣性モーメントの一方が最大であり、他方が最小であるという事実は、それら (および対応する軸) が主と呼ばれるという事実の説明として考えることができます。主軸に対する遠心慣性モーメントがゼロに等しいことは、それを見つけるための便利な記号です。円、正方形、正六角形などの一部のタイプの断面 (図 6.9) には、無数の主中心軸があります。これらのセクションでは、任意の中心軸が主軸となります。

証拠を提供することなく、セクションの 2 つの主要な中心慣性モーメントが等しい場合、このセクションではいずれかの中心軸が主要な軸となり、すべての主要な中心慣性モーメントが同じであることを指摘します。

式 (6.29) ～ (6.31) から、座標軸を回転させると遠心慣性モーメントの符号が変わるため、遠心モーメントがゼロになる軸の位置が存在することがわかります。

断面の遠心慣性モーメントが消滅する軸を主軸といい、断面の重心を通る主軸を主軸といいます。セクションの主慣性中心軸.

セクションの主慣性軸の周りの慣性モーメントは次のように呼ばれます。断面の主慣性モーメントで表されます私 1 そして私 2 そして私 1 > 私 2 。通常、主モーメントについて話す場合、主慣性中心軸の周りの軸方向慣性モーメントを意味します。

軸があると仮定しましょう あなたそして v主なもの。それから

式 (6.32) は、元の座標軸に対する特定の点におけるセクションの主慣性軸の位置を決定します。座標軸を回転させると、軸方向の慣性モーメントも変化します。軸方向慣性モーメントが極値に達する軸の位置を見つけてみましょう。これを行うには、次の 1 次導関数を取得します。私あなたによる α そしてそれをゼロに設定します。

この条件は同じ結果をもたらします dIv/dα . 最後の式を式 (6.32) と比較すると、主慣性軸は、断面の軸方向慣性モーメントが極値に達する軸であるという結論に達します。

主な慣性モーメントの計算を簡略化するために、関係式 (6.32) を使用して式 (6.29) ～ (6.31) から三角関数を除外して変換します。

根号の前のプラス記号は、より大きな値に対応します。私 1 、マイナス記号の方が小さい私 2 セクションの慣性モーメントから。

主軸に対する軸方向慣性モーメントが同じであるセクションの重要な特性の 1 つを指摘しましょう。軸があると仮定しましょう yそして z主要（私yz=0)、および私y=私z。次に、式 (6.29) ～ (6.31) に従って、軸の任意の回転角度に対して、 α 遠心慣性モーメント私紫外線=0、軸方向私あなた= 私v.

したがって、主軸を中心としたセクションの慣性モーメントが同じである場合、セクションの同じ点を通過するすべての軸が主軸となり、これらすべての軸を中心とした軸方向の慣性モーメントは同じになります。私あなた= 私v= 私y= 私z. この性質は、例えば四角形、円形、環状の断面が持つ。

式 (6.33) は主応力の式 (3.25) に似ています。したがって、主な慣性モーメントはモールの方法によってグラフで決定できます。

式 (31.5)、(32.5)、および (34.5) を使用すると、軸が任意の角度 a だけ回転したときにセクションの慣性モーメントの値がどのように変化するかを確立できます。角度αのいくつかの値では、軸方向慣性モーメントの値は最大値と最小値に達します。断面の軸方向慣性モーメントの極値（最大および最小）は、主慣性モーメントと呼ばれます。アキシアル慣性モーメントが極値となる軸を主慣性軸と呼びます。

式 (33.5) から、特定の軸に対する軸方向の慣性モーメントが最大である場合 (つまり、この軸が主軸である場合)、それに垂直な軸に対する軸方向の慣性モーメントは最小になる (つまり、この軸は主軸でもあります)。そのため、互いに直交する 2 つの軸の周りの軸方向慣性モーメントの合計は角度 a に依存しません。

したがって、慣性の主軸は相互に垂直になります。

主慣性モーメントと主慣性軸の位置を見つけるには、慣性モーメントから角度 a に関する一次導関数を決定します。式(31.5)と図。 19.5]:

この結果をゼロとみなします。

ここで、は座標軸 y を回転させて主軸と一致させる角度です。

式 (35.5) と (34.5) を比較すると、次のことがわかります。

したがって、主慣性軸に対して、遠心慣性モーメントはゼロになります。したがって、主慣性軸は、遠心慣性モーメントがゼロに等しい軸と呼ぶことができます。

すでに知られているように、一方または両方が対称軸と一致する軸に対するセクションの遠心慣性モーメントはゼロに等しい。

したがって、一方または両方が断面の対称軸と一致する相互に直交する軸が、常に主慣性軸になります。このルールにより、多くの場合、主軸の位置を直接 (計算なしで) 確立することができます。

角度に関して式(35.5)を解いてみましょう

それぞれの特定のケースにおいて、式 (36.5) は多数の値によって満たされ、それらのいずれか 1 つが選択されます。それが正の場合、そこから主慣性軸の 1 つの位置を決定するには、軸を反時計回りにある角度だけ回転する必要があります。負の場合は時計回りに回転する必要があります。もう一方の主慣性軸は、最初の主軸に対して垂直です。主慣性軸の一方は最大軸（それと比較して、断面の軸方向慣性モーメントが最大）であり、もう一方は最小軸（それと比較して、断面の軸方向慣性モーメントが最小）です）。

最大軸は軸 (y または ) の角度と常に小さい角度をなし、それに比べて軸方向慣性モーメントの値が大きくなります。この状況により、慣性の主軸のどれが最大軸でどれが最小軸であるかを簡単に確立できます。したがって、たとえば、図に示すように慣性主軸と、 v が配置されているとします。 20.5 の場合、軸は最大軸であり (軸との角度よりも Y 軸との角度が小さいため)、v 軸が最小軸となります。

特定の数値問題を解いて主慣性モーメントを決定する場合、選択した角度の値とその値を式 (31.5) または (32.5) に代入できます。

この問題を一般形式で解いてみましょう。三角法の公式を使用し、式 (36.5) を使用すると、次のことがわかります。

これらの式を式 (31.5) に代入すると、単純な変換後に次の結果が得られます。

慣性の主軸は、断面平面内の任意の点を通って描くことができます。ただし、構造要素の計算で実際に重要となるのは、断面の重心を通過する主軸、つまり主中心慣性だけです。これらの軸に対する慣性モーメント (主な中心慣性モーメント) はさらに次のように表されます。

いくつかの特殊なケースを考えてみましょう。

1. 式 (34.5) がゼロに等しい相互に垂直な軸の任意のペアに対する遠心慣性モーメントの値を与える場合、したがって、座標系を回転することによって得られる任意の軸が主慣性軸になります (同様に、を軸として）。この場合

2. 2 つ以上の対称軸を持つ図形の場合、すべての中心軸の周りの軸方向慣性モーメントは等しくなります。実際、軸の 1 つ () を対称軸の 1 つに沿って、もう 1 つをそれに垂直に向けてみましょう。これらの軸について図形に 3 つ以上の対称軸がある場合、そのうちの 1 つがその軸と鋭角を形成します。このような軸とそれに垂直な軸を表しましょう

軸が対称軸であるため、遠心慣性モーメントになります。式(34.5)によると。