マトリックスランク1の例。行列の順位を求める: 方法と例

意味。マトリックスランクベクトルとしてみなされる線形独立行の最大数です。

行列のランクに関する定理 1。マトリックスランクは行列の非ゼロマイナーの最大次数と呼ばれます。

マイナーの概念については行列式のレッスンですでに説明しましたが、ここでそれを一般化します。行列内の特定の行数と特定の列数を考えてみましょう。この「どのくらい」は行列の行と列の数よりも小さくなければなりません。また、行と列の場合、この「いくつ」は次のようになります。同じ番号です。次に、行数と列数の交差点に、元の行列よりも低次の行列が存在します。行列式は行列であり、前述の「一部」(行と列の数) が k で示されている場合、k 次のマイナーになります。

意味。マイナー ( r+1) 次のオーダー、その中に選択されたマイナーが含まれます r-th オーダーは、特定のマイナーのボーダーリングと呼ばれます。

最も一般的に使用される 2 つの方法は次のとおりです。 行列の順位を求める。これ 未成年者との国境の接し方そして 初等変換の方法(ガウス法)。

境界マイナー法を使用する場合、次の定理が使用されます。

行列のランクに関する定理 2。マイナーが行列要素から構成できる場合 r次数がゼロに等しくない場合、行列のランクは次と等しくなります。 r.

基本変換メソッドを使用する場合、次のプロパティが使用されます。

基本的な変換を通じて、元の行列と同等の台形行列が得られた場合、 この行列のランク完全にゼロで構成される行以外の行の数です。

マイナー境界法を使用して行列のランクを求める

囲んでいるマイナーは、この高次のマイナーに指定されたマイナーが含まれている場合、指定されたマイナーに対して相対的に高次のマイナーです。

たとえば、行列が与えられたとすると、

未成年者を連れて行きましょう

境界未成年者は次のとおりです。

行列の順位を求めるアルゴリズム次。

1. ゼロに等しくない 2 次のマイナーを見つけます。すべての 2 次マイナーが 0 に等しい場合、行列のランクは 1 に等しくなります ( r =1 ).

2. ゼロに等しくない 2 次のマイナーが少なくとも 1 つある場合、境界にある 3 次のマイナーを構成します。 3 次の境界マイナーがすべて 0 に等しい場合、行列のランクは 2 に等しくなります ( r =2 ).

3. 3 次の境界マイナーの少なくとも 1 つがゼロに等しくない場合、境界マイナーを構成します。 4 次の境界マイナーがすべて 0 に等しい場合、行列のランクは 3 に等しくなります ( r =2 ).

4. マトリックスのサイズが許す限り、この手順を続けます。

例1.行列の順位を求める

解決。二次の未成年者 .

境界線をつけてみましょう。未成年者は次の 4 人になります。

したがって、3 次の境界マイナーはすべて 0 に等しいため、この行列のランクは 2 に等しくなります ( r =2 ).

例2。行列の順位を求める

解決。この行列のすべての 2 次マイナーが 0 に等しいため、この行列のランクは 1 に等しくなります (この場合、次の 2 つの例の境界にあるマイナーの場合と同様に、親愛なる学生は、次のことを確認するよう招待されています)おそらく行列式を計算するためのルールを使用して)、一次マイナーの中、つまり行列の要素の中には、ゼロ以外のものが存在します。

例 3.行列の順位を求める

解決。この行列の 2 次マイナーはであり、この行列の 3 次マイナーはすべて 0 に等しくなります。したがって、この行列のランクは 2 です。

例4.行列の順位を求める

解決。この行列の唯一の 3 次マイナーが 3 であるため、この行列のランクは 3 です。

初等変換法 (ガウス法) を使用して行列のランクを求める

すでに例 1 で、境界マイナー法を使用して行列のランクを決定するタスクには、多数の行列式の計算が必要であることが明らかです。ただし、計算量を最小限に抑える方法があります。この方法は基本行列変換の使用に基づいており、ガウス法とも呼ばれます。

次の操作は、基本的な行列変換として理解されます。

1) 行列の行または列にゼロ以外の数値を乗算する。

2) 行列の任意の行または列の要素に、別の行または列の対応する要素を加算し、同じ数を掛けます。

３）行列の２つの行または列を交換する。

4) 「null」行、つまり要素がすべて 0 に等しい行を削除します。

5) 1 つを除くすべての比例線を削除します。

定理。基本的な変換中、行列のランクは変化しません。言い換えれば、行列からの基本的な変換を使用すると、あマトリックスに行きました B、それ。

行列のランクを計算するには、境界マイナー法またはガウス法を使用できます。ガウス法または初等変換法を考えてみましょう。

行列のランクはそのマイナーの最大次数であり、その中にはゼロに等しくないものが少なくとも 1 つあります。

行 (列) システムのランクは、このシステムの線形に独立した行 (列) の最大数です。

境界マイナー法を使用して行列のランクを見つけるためのアルゴリズム:

マイナー Mk-それ順序はゼロではありません。
未成年者の場合、未成年者に隣接する場合 M (k+1) 番目順序が異なるため、構成することは不可能です (つまり、行列には次のものが含まれます)。 k線や k列)、行列のランクは次と等しくなります。 k。境界未成年者が存在し、すべてゼロの場合、ランクは k です。隣接するマイナーの中にゼロに等しくないものが少なくとも 1 つある場合は、新しいマイナーを構成しようとします。 k+2等

アルゴリズムをさらに詳しく分析してみましょう。まず、行列の 1 次 (行列要素) のマイナーを検討します。あ。それらがすべてゼロに等しい場合、 ランクA = 0。ゼロに等しくない一次マイナー (行列要素) がある場合 M1≠0、次にランク ランクA≧1.

M1。そのような未成年者がいる場合、彼らは第二順位の未成年者になります。未成年者全員が未成年者に隣接している場合 M1がゼロに等しい場合、 ランクA = 1。ゼロに等しくない 2 次のマイナーが少なくとも 1 つある場合 M2≠0、次にランク ランクA≧2.

未成年者に境界未成年者がいるか確認しましょう M2。そのような未成年者がいる場合、彼らは三次未成年者になります。未成年者全員が未成年者に隣接している場合 M2がゼロに等しい場合、 ランクA = 2。ゼロに等しくない 3 次のマイナーが少なくとも 1 つある場合 M3≠0、次にランク ランクA≧3.

未成年者に境界未成年者がいるか確認しましょう M3。そのような未成年者がいる場合、彼らは第 4 順位の未成年者になります。未成年者全員が未成年者に隣接している場合 M3がゼロに等しい場合、 ランクA = 3。ゼロに等しくない 4 次のマイナーが少なくとも 1 つある場合 M4≠0、次にランク ランクA≧4.

未成年者に境界未成年者がいるかどうかを確認する M4、等々。ある段階で境界マイナーがゼロに等しい場合、または境界マイナーを取得できない場合 (行列の行または列が「不足」した場合)、アルゴリズムは停止します。作成された非ゼロのマイナーの次数が行列のランクになります。

例

例を使用してこの方法を見てみましょう。 4x5 行列の場合:

この行列のランクは 4 を超えることはできません。また、この行列にはゼロ以外の要素 (1 次のマイナー) が含まれており、これは行列のランクが ≥ 1 であることを意味します。

短調を作ろう 2番目注文。コーナーから始めましょう。

したがって、行列式はゼロに等しいので、別のマイナーを作成しましょう。

このマイナーの決定要因を見つけてみましょう。

指定されたマイナーを次と等しいと定義します -2 。したがって、行列のランクは ≥ 2 .

このマイナーが 0 に等しい場合、他のマイナーが形成されます。最後まで彼らは1列目と2列目のマイナーをすべて占めていただろう。次に、0 に等しくないマイナーが見つかるまで、1 行目と 3 行目、2 行目と 3 行目、2 行目と 4 行目を続けます。次に例を示します。

すべての 2 次マイナーが 0 の場合、行列のランクは 1 になります。解は停止される可能性があります。

3位注文。

未成年者はゼロではないことが判明した。マトリックスのランクを意味します ≥ 3 .

このマイナーがゼロの場合は、他のマイナーを作成する必要があります。例えば：

すべての 3 次マイナーが 0 の場合、行列のランクは 2 になります。解は停止される可能性があります。

行列のランクの検索を続けましょう。短調を作ろう 4位注文。

このマイナーの決定要因を見つけてみましょう。

未成年者の行列式は次と等しいことが判明しました 0 。別のマイナーを構築しましょう。

このマイナーの決定要因を見つけてみましょう。

未成年者は同等であることが判明 0 .

マイナービルド 5位順序は機能しません。この行列にはこれに対応する行がありません。最後のマイナーはゼロではありませんでした 3位 order、行列のランクが次と等しいことを意味します 3 .

小学校次の行列変換が呼び出されます。

1) 任意の 2 つの行 (または列) の順列、

2) 行 (または列) にゼロ以外の数値を乗算します。

3) ある行 (または列) に別の行 (または列) を加算し、特定の数を掛けます。

2 つの行列は次のように呼ばれます。同等、有限セットの基本変換を使用して、一方が他方から取得される場合。

一般に、等価行列は等しいわけではありませんが、ランクは等しいです。行列 A と B が等しい場合、A ~ B のように記述されます。

正規行列は、主対角線の先頭に複数の 1 が連続して存在し (その数はゼロでも構いません)、他のすべての要素はゼロに等しい行列です。たとえば、次のようになります。

行と列の基本的な変換を使用すると、あらゆる行列を正規化することができます。正準行列のランクは、その主対角線上の 1 の数に等しくなります。

例 2行列の順位を求める

そしてそれを正規の形式に戻します。

解決。 2 行目から最初の行を減算し、次の行を並べ替えます。

次に、2 行目と 3 行目から最初の行を減算し、それぞれ 2 と 5 を掛けます。

;

3 行目から最初の行を減算します。行列を取得します

B = ,

これは、基本変換の有限セットを使用して行列 A から取得されるため、行列 A と同等です。明らかに、行列 B のランクは 2 なので、r(A)=2 になります。行列 B は簡単に正規化できます。適切な数値を掛けた最初の列を後続のすべての列から減算すると、最初の行を除く最初の行のすべての要素がゼロになり、残りの行の要素は変わりません。次に、適切な数値を掛けた 2 番目の列を後続のすべての列から減算し、2 番目を除く 2 番目の行のすべての要素をゼロにし、正準行列を取得します。

クロネッカー - カペリの定理- 線形代数方程式系の互換性基準:

線形システムが一貫性を保つためには、このシステムの拡張行列のランクがそのメイン行列のランクと等しいことが必要かつ十分です。

証明（システム互換性条件）

必要性

させてシステムジョイント次に、のような数字があります。したがって、列は行列の列の線形結合になります。他の行（列）の線形結合である行（列）の系から行（列）が削除または追加されても行列のランクは変わらないという事実から、次のことがわかります。

適切性

させて。マトリックスの基本的なマイナーをいくつか取り上げてみましょう。したがって、それはマトリックスの基底マイナーにもなります。すると、基底定理によれば、マイナーの場合、行列の最後の列は、基底列、つまり行列の列の線形結合になります。したがって、システムの自由項の列は、行列の列の線形結合になります。

結果

主な変数の数システムシステムのランクと同じです。

ジョイントシステムシステムのランクがそのすべての変数の数と等しい場合、は定義されます (その解は一意です)。

同次方程式系

オファー15 . 2 同次方程式系

常に共同です。

証拠。このシステムの場合、数値セット、、、が解となります。

このセクションでは、システムの行列表記を使用します。

オファー15 . 3 同次一次方程式系の解の和は、この系の解になります。解に数値を掛けたものも解です。

証拠。それらをシステムのソリューションとして機能させましょう。それから、そして。させて。それから

以来、解決策です。

を任意の数としましょう。それから

以来、解決策です。

結果15 . 1 同次一次方程式系にゼロ以外の解がある場合、無限に多くの異なる解が存在します。

実際、ゼロ以外の解にさまざまな数値を乗算すると、さまざまな解が得られます。

意味15 . 5 解決策は次のようになります。システムフォーム 解決の基本システム、列の場合は線形独立システムを形成しており、システムの解はこれらの列の線形結合になります。

次の場合、数値 r は行列 A のランクと呼ばれます。
1) 行列 A にはゼロとは異なる次数 r のマイナーが存在します。
2) 次数 (r+1) 以上のすべてのマイナーが存在する場合、それらはゼロに等しい。
それ以外の場合、行列のランクはゼロ以外の最高の副次数になります。
指定: rangA、r A または r。
定義から、r は正の整数であることがわかります。ヌル行列の場合、ランクはゼロとみなされます。

サービスの目的。オンライン計算機は、次のことを見つけるように設計されています。 マトリックスランク。この場合、ソリューションは Word および Excel 形式で保存されます。解決策の例を参照してください。

説明書。マトリックスの次元を選択し、「次へ」をクリックします。

意味。ランク r の行列が与えられるとします。ゼロとは異なり次数 r を持つ行列のマイナーは基本と呼ばれ、そのコンポーネントの行と列は基本行と基本列と呼ばれます。
この定義によれば、行列 A は複数の基底マイナーを持つことができます。

単位行列 E のランクは n (行数) です。

例1. 2 つの行列が与えられると、およびその未成年者 , 。どれが基本的なものとして考えられますか?
解決。マイナー M 1 =0 なので、どの行列の基礎にもなりません。マイナー M 2 =-9≠0 で次数は 2 です。つまり、ランクが 2 に等しい場合、行列 A または / および B の基底として使用できます。 detB=0 (2 つの比例列を持つ行列式として) であるため、rangB=2 および M 2 を行列 B の基底副次関数とみなすことができます。 detA=-27≠ であるため、行列 A のランクは 3 です。 0 であるため、この行列の基底マイナー次数は 3 に等しくなければなりません。つまり、M 2 は行列 A の基底ではありません。行列 A には、行列 A の行列式に等しい単一基底マイナーがあることに注意してください。

定理（基底マイナーについて）。 行列の行 (列) は、その基本行 (列) の線形結合です。
定理からの帰結。

ランク r のすべての (r+1) 列 (行) 行列は線形従属です。
行列のランクがその行 (列) の数より小さい場合、その行 (列) は線形依存します。 rangA がその行 (列) の数と等しい場合、行 (列) は線形に独立しています。
行列 A の行列式は、その行 (列) が線形従属している場合に限り、ゼロに等しくなります。
行列の行 (列) に別の行 (列) を追加し、ゼロ以外の数値を乗算しても、行列の順位は変わりません。
他の行 (列) の線形結合である行列の行 (列) を取り消しても、行列のランクは変わりません。
行列のランクは、線形に独立した行 (列) の最大数に等しくなります。
線形独立行の最大数は、線形独立列の最大数と同じです。

例2。行列の順位を求める .
解決。 マトリックスランクの定義に基づいて、ゼロとは異なる最高次数のマイナーを探します。まず、行列をより単純な形式に変換しましょう。これを行うには、行列の最初の行に (-2) を乗算して 2 番目の行に加算し、次に (-1) を乗算して 3 番目の行に加算します。

マトリックスのランクは重要な数値特性です。行列の階数を求める必要がある最も典型的な問題は、線形代数方程式系の整合性をチェックすることです。この記事では、行列のランクの概念を与え、それを見つける方法を検討します。内容をより深く理解するために、いくつかの例に対する解決策を詳細に分析します。

ページナビゲーション。

マトリックスのランクと必要な追加概念の決定。

行列の階数の定義を述べる前に、マイナーの概念をよく理解しておく必要があります。行列のマイナーを見つけることは、行列式を計算できることを意味します。したがって、必要に応じて、記事の理論、行列の行列式を求める方法、行列式の性質を思い出すことをお勧めします。

次数の行列 A を考えてみましょう。 k を、数 m と n の最小値を超えない自然数、つまり、 .

意味。

マイナー k 次オーダー行列 A は、事前に選択された k 行および k 列に位置する行列 A の要素で構成される次数の正方行列の行列式であり、行列 A の要素の配置は保存されます。

言い換えると、行列 A から (p–k) 行と (n–k) 列を削除し、残りの要素から行列 A の要素の配置を維持した行列を作成すると、行列式は次のようになります。結果の行列は行列 A の k 次のマイナーです。

例を使用してマイナー行列の定義を見てみましょう。

マトリックスを考えてみる .

この行列の一次マイナーをいくつか書き留めてみましょう。たとえば、行列 A の 3 行目と 2 列目を選択すると、その選択は 1 次マイナーに対応します。。つまり、このマイナーを取得するには、行列 A の 1 行目と 2 行目、および 1 列目、3 列目、4 列目を取り消して、残りの要素から行列式を作成します。行列 A の最初の行と 3 列目を選択すると、マイナーが得られます。 .

第一順位未成年者とみなされる者を取得する手順を説明しましょう
そして .

したがって、行列の 1 次マイナーは行列要素そのものです。

いくつかの二次未成年者を示しましょう。 2 行 2 列を選択します。たとえば、1 行目と 2 行目、および 3 列目と 4 列目を取り上げます。この選択により、二次マイナーが得られます。このマイナーは、行列 A から 3 行目、1 列目、2 列目を削除することによっても構成できます。

行列 A の別の 2 次マイナーはです。

これらの二次マイナーの構造を説明しましょう
そして .

同様に、行列 A の 3 次のマイナーを見つけることができます。行列 A には 3 行しかないので、それらをすべて選択します。これらの行の最初の 3 列を選択すると、3 次マイナーが得られます。

行列 A の最後の列を取り消し線で消すことによっても作成できます。

もう一つの三次マイナーは、

行列 A の 3 列目を削除することで得られます。

これは、これらの三次マイナーの構造を示す写真です。
そして .

与えられた行列 A については、であるため、3 次より上位のマイナーは存在しません。

次数の行列 A の k 次のマイナーはいくつありますか?

k 次の未成年者の数は次のように計算できます。そして - それぞれ p から k までと n から k までの組み合わせの数。

次数 p × n の行列 A の次数 k のすべてのマイナーをどのように構築できるでしょうか?

多数の行列の行番号と多数の列番号が必要になります。すべてを書き留めます k による p 要素の組み合わせ(これらは、次数 k のマイナーを構築するときに行列 A の選択された行に対応します)。行番号の各組み合わせに、k 列番号の n 要素のすべての組み合わせを順番に追加します。行列 A の行番号と列番号の組み合わせのこれらのセットは、次数 k のすべてのマイナーを構成するのに役立ちます。

例を挙げて見てみましょう。

例。

行列の 2 次マイナーをすべて見つけます。

解決。

元の行列の次数は 3 × 3 なので、2 次のマイナーの合計は次のようになります。 .

行列 A の 3 ～ 2 つの行番号の組み合わせをすべて書き留めてみましょう: 1、2; 1、3と2、3。 3 から 2 の列番号のすべての組み合わせは 1、2 です。 1、3と2、3。

行列 A の 1 行目と 2 行目を考えてみましょう。これらの行の 1 列目と 2 列目、1 列目と 3 列目、2 列目と 3 列目を選択することで、それぞれマイナーを取得します。

1 行目と 3 行目では、同様の列を選択して、次のようになります。

1 番目と 2 番目、1 番目と 3 番目、2 番目と 3 番目の列を 2 番目と 3 番目の行に追加する作業が残ります。

したがって、行列 A の 9 つの 2 次マイナーがすべて見つかりました。

ここで、行列のランクの決定に進むことができます。

意味。

マトリックスランク行列の非ゼロのマイナーの最高次数です。

行列 A のランクは Rank(A) として表されます。 Rg(A) または Rang(A) という指定も見つかります。

行列ランクと行列マイナーの定義から、ゼロ行列のランクはゼロに等しく、非ゼロ行列のランクは 1 以上であると結論付けることができます。

定義による行列のランクの検索。

したがって、行列のランクを見つける最初の方法は次のとおりです。 未成年者の数え方。この方法は、行列のランクの決定に基づいています。

次数の行列 A のランクを見つける必要があります。

簡単に説明しましょう アルゴリズム未成年者を列挙することでこの問題を解決します。

ゼロとは異なる行列の要素が少なくとも 1 つある場合、行列のランクは少なくとも 1 に等しくなります (ゼロに等しくない 1 次マイナーがあるため)。

次に二次未成年者について見ていきます。すべての 2 次マイナーが 0 に等しい場合、行列のランクは 1 に等しくなります。 2 次の非ゼロのマイナーが少なくとも 1 つある場合、3 次のマイナーの列挙に進み、行列のランクは少なくとも 2 に等しくなります。

同様に、3 次のマイナーがすべて 0 の場合、行列のランクは 2 になります。ゼロ以外の 3 次マイナーが少なくとも 1 つある場合、行列のランクは少なくとも 3 となり、4 次マイナーの列挙に進みます。

行列のランクは、p と n の最小値を超えることはできないことに注意してください。

例。

行列の順位を求める .

解決。

行列は非ゼロであるため、そのランクは 1 未満ではありません。

二次の未成年者はゼロとは異なるため、行列 A のランクは少なくとも 2 になります。三次未成年者の列挙に移ります。それらの合計もの。

すべての 3 次マイナーはゼロに等しい。したがって、行列のランクは 2 です。

答え：

ランク(A) = 2 。

マイナー境界法を使用して行列のランクを見つけます。

より少ない計算量で結果を取得できる行列のランクを見つける方法は他にもあります。

そのような方法の 1 つは、 エッジマイナー法.

対処しましょう エッジマイナーの概念.

マイナー M ok に対応する行列がマイナーに対応する行列を「含む」場合、行列 A の (k+1) 次のマイナー M ok は行列 A の次数 k のマイナー M に隣接していると言われます。 M .

換言すれば、ボーダーリングマイナーＭに対応する行列は、ボーダーリングマイナーＭｏｋに対応する行列から１行１列の要素を削除することによって得られる。

たとえば、次の行列を考えてみましょう。そして二次マイナーを取ります。境界にある未成年者をすべて書き留めてみましょう。

未成年者に境界を設ける方法は、次の定理によって正当化されます (証明なしでその定式化を示します)。

定理。

次数 p × n の行列 A の k 次のマイナーに隣接するすべてのマイナーが 0 に等しい場合、行列 A の次数 (k+1) のすべてのマイナーは 0 に等しくなります。

したがって、行列のランクを見つけるために、十分に境界にあるすべてのマイナーを調べる必要はありません。次数の行列 A の k 次のマイナーに隣接するマイナーの数は、次の式で求められます。。行列 A の k 次のマイナーに隣接するマイナーは、行列 A の (k + 1) 次のマイナーよりも多くないことに注意してください。したがって、ほとんどの場合、単に未成年者をすべて列挙するよりも、未成年者に境界を設定する方法を使用する方が有益です。

マイナー境界法を使用して行列のランクを見つけることに移りましょう。簡単に説明しましょう アルゴリズムこの方法。

行列 A がゼロ以外の場合、行列 A のゼロ以外の要素を 1 次マイナーとして取得します。その境界にある未成年者を見てみましょう。それらがすべて 0 に等しい場合、行列のランクは 1 に等しくなります。ゼロ以外の境界マイナーが少なくとも 1 つある場合 (次数は 2)、その境界マイナーの検討に進みます。それらがすべて 0 の場合、Rank(A) = 2 になります。少なくとも 1 つの境界マイナーがゼロ以外 (次数が 3) の場合、その境界マイナーが考慮されます。等々。結果として、行列 A の (k + 1) 次の境界マイナーがすべて 0 に等しい場合は Rank(A) = k、または非次数がある場合は Rank(A) = min(p, n) となります。次数 (min( p, n) – 1) のマイナーに隣接するゼロのマイナー。

例を使用して、マイナーを境界付けして行列のランクを見つける方法を見てみましょう。

例。

行列の順位を求める未成年者と国境を接する方法によって。

解決。

行列 A の要素 a 1 1 は非ゼロなので、これを 1 次のマイナーとみなします。ゼロとは異なる境界マイナーの検索を開始しましょう。

ゼロとは異なる 2 次のエッジマイナーが見つかります。その境界にある未成年者（彼らのもの）：

2 次マイナーに隣接するすべてのマイナーは 0 に等しいため、行列 A のランクは 2 に等しくなります。

答え：

ランク(A) = 2 。

例。

行列の順位を求める国境を接する未成年者を使用する。

解決。

1 次の非ゼロのマイナーとして、行列 A の要素 a 1 1 = 1 を取得します。周囲の二次マイナーゼロに等しくありません。この未成年者は三次未成年者と隣接しています
。これはゼロに等しくなく、それに隣接するマイナーが 1 つも存在しないため、行列 A のランクは 3 に等しくなります。

答え：

ランク(A) = 3 。

基本行列変換 (ガウス法) を使用してランクを見つけます。

行列のランクを見つける別の方法を考えてみましょう。

次の行列変換は基本変換と呼ばれます。

行列の行 (または列) を再配置する。
行列の任意の行 (列) のすべての要素に、ゼロとは異なる任意の数 k を乗算します。
行 (列) の要素に、行列の別の行 (列) の対応する要素を追加し、任意の数 k を掛けます。

行列 B は行列 A と等価であると呼ばれます、有限数の基本変換を使用して A から B が得られる場合。行列の等価性は記号「~」、つまり A ~ B で表されます。

基本行列変換を使用して行列のランクを求めることは、有限数の基本変換を使用して行列 A から行列 B が得られる場合、 Rank(A) = Rank(B) というステートメントに基づいています。

このステートメントの妥当性は、行列の行列式の性質から次のようになります。

行列の行 (または列) を並べ替えると、行列式の符号が変わります。これがゼロに等しい場合、行 (列) が再配置されてもゼロのままになります。
行列の任意の行（列）のすべての要素にゼロ以外の任意の数 k を乗算すると、結果の行列の行列式は、元の行列の行列式に k を乗じたものに等しくなります。元の行列の行列式がゼロに等しい場合、任意の行または列のすべての要素に数値 k を乗算すると、結果の行列の行列式もゼロになります。
行列の特定の行 (列) の要素に、行列の別の行 (列) の対応する要素を追加して、特定の数 k を乗算しても、行列式は変わりません。

初等変換法の本質基本的な変換を使用して、ランクを見つける必要がある行列を台形行列 (特定の場合は上三角行列) に減らすことにあります。

なぜこれが行われるのでしょうか? このタイプの行列のランクは非常に簡単に見つけることができます。これは、少なくとも 1 つの非ゼロ要素を含む行の数に等しくなります。また、基本的な変換を実行するときに行列のランクは変わらないため、結果の値は元の行列のランクになります。

行列の図を示します。そのうちの 1 つは変換後に取得する必要があります。それらの外観は行列の次数によって異なります。