複雑な誘導体。対数導関数。
指数関数の導関数

私たちは差別化技術を改善し続けています。このレッスンでは、カバーされた資料を統合し、より複雑な導関数を検討し、導関数、特に対数導関数を見つけるための新しいトリックとトリックについても学びます。

準備のレベルが低い読者は、記事を参照してください。 導関数を見つける方法は？ソリューション例これにより、スキルをほぼゼロから上げることができます。次に、ページを注意深く調べる必要があります 複素関数の導関数、理解し、解決する全て私が挙げた例。このレッスンは論理的には 3 番目のレッスンであり、習得した後は、かなり複雑な関数を自信を持って区別できるようになります。「他にどこ？」という立場に固執することは望ましくありません。はい、それで十分です！」、すべての例と解決策は実際のテストから取得されており、実際によく見られるためです。

繰り返しから始めましょう。レッスンで 複素関数の導関数詳細なコメントを含む多くの例を検討しました。微分計算や数学的分析の他のセクションを学習する過程で、非常に頻繁に微分する必要があり、例を非常に詳細に描くことは必ずしも便利ではありません (そして必ずしも必要ではありません)。そのため、誘導体の口頭での調査を実践します。これに最も適した「候補」は、最も単純で複雑な関数の派生物です。たとえば、次のようになります。

複素関数の微分の法則によると :

将来、他のマタンのトピックを学習するとき、そのような詳細な記録はほとんどの場合必要ありません。学生は自動操縦で同様の派生物を見つけることができると想定されています。午前 3 時に電話が鳴り、「2 つの x のタンジェントの微分は?」という心地よい声が聞こえたとします。これに続いて、ほぼ即座に丁寧な応答が必要です。 .

最初の例は、すぐに独立したソリューションを対象としています。

例 1

次の導関数を 1 つのステップで口頭で見つけます。たとえば、次のようになります。タスクを完了するには、使用するだけです 初等関数の導関数の表（彼女がまだ覚えていない場合）。難しい場合は、レッスンを読み直すことをお勧めします 複素関数の導関数.

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レッスンの最後に答え

複雑な誘導体

大砲の準備が整った後は、3-4-5 の機能のアタッチメントを備えた例はそれほど怖くなくなります。おそらく、次の 2 つの例は一部の人にとっては複雑に見えるかもしれませんが、それらが理解される (誰かが苦しむ) と、微分計算の他のほとんどすべてが子供の冗談のように思えるでしょう。

例 2

関数の微分を求める

すでに述べたように、複素関数の導関数を見つけるとき、まず第一に、右投資を理解する。疑問がある場合は、便利なトリックを思い出してください。たとえば、実験値「x」を取り、（精神的にまたはドラフトで）この値を「ひどい表現」に置き換えようとします。

1) 最初に式を計算する必要があるため、合計が最も深い入れ子になります。

2) 次に、対数を計算する必要があります。

4) 次に、コサインを 3 乗します。

5) 5 番目のステップで、違い:

6) 最後に、最も外側の関数は平方根です。

複素関数の微分公式最も外側の関数から最も内側の関数へと逆の順序で適用されます。私たちが決めます：

エラーではないようです...

(1) 平方根の導関数をとります。

(2) ルールを使用して差の微分をとります

(3) トリプルの導関数はゼロに等しい。第 2 項では、次数 (立方体) の微分を取ります。

(4) コサインの導関数をとります。

(5) 対数の導関数をとります。

(6) 最後に、最も深い入れ子の微分を取ります。

難しすぎるように思えるかもしれませんが、これは最も残忍な例ではありません。たとえば、クズネツォフのコレクションを例にとると、分析された派生物のすべての魅力とシンプルさに感謝するでしょう。学生が複雑な関数の導関数を見つける方法を理解しているかどうか、または理解していないかどうかをチェックするために、試験で似たようなことをするのが好きだということに気付きました。

次の例は、スタンドアロンソリューション用です。

例 3

関数の微分を求める

ヒント: まず、直線性の規則と積の微分の規則を適用します。

レッスンの最後に完全な解決策と答え。

よりコンパクトできれいなものに移る時が来ました。
2 つではなく 3 つの関数の積が例に示されている状況は珍しくありません。 3つの因数の積の導関数を見つけるには?

例 4

関数の微分を求める

まず見てみますが、3つの関数の積を2つの関数の積にすることは可能でしょうか? たとえば、積に 2 つの多項式がある場合、ブラケットを開くことができます。ただし、この例では、次数、指数、対数など、すべての関数が異なります。

そのような場合に必要なのが 次々と製品差別化ルールを適用する二回

トリックは、「y」の場合、2つの関数の積を表すことです：、および「ve」の場合 - 対数：. なぜこれができるのですか？それは...ですか - これは 2 つの要因の積ではなく、ルールが機能しない?! 複雑なことは何もありません:

ルールをもう一度適用する必要がありますかっこに:

あなたはまだ変質して括弧から何かを取り出すことができますが、この場合、答えをこの形式のままにしておく方が良いです-チェックが簡単になります.

上記の例は、2 番目の方法で解決できます。

どちらのソリューションも完全に同等です。

例 5

関数の微分を求める

これは、独立したソリューションの例です。サンプルでは、最初の方法で解決されています。

分数の同様の例を考えてみましょう。

例 6

関数の微分を求める

ここでは、いくつかの方法で行くことができます:

またはこのように：

しかし、まず第一に、商の微分規則を使用すると、解はよりコンパクトに書くことができます。、分子全体を取る：

原則として例題は解いて、この形で残せば間違いではありません。しかし、時間があれば、下書きを確認することを常にお勧めしますが、答えを単純化することは可能ですか? 分子の式を共通の分母に持ってきて、 三階建ての部分を取り除く:

追加の単純化の欠点は、導関数を見つけるときではなく、平凡な学校の変換を行うときに間違いを犯すリスクがあることです。一方、教師はしばしばタスクを拒否し、導関数を「思い出す」ように求めます。

日曜大工ソリューションの簡単な例:

例 7

関数の微分を求める

私たちは微分を見つけるためのテクニックを習得し続けています.そして今、「ひどい」対数が微分のために提案された典型的なケースを考えてみましょう.

例 8

関数の微分を求める

ここでは、複雑な関数の微分規則を使用して、長い道のりを歩むことができます。

しかし、最初のステップはすぐにあなたを落胆させます-分数の不快な導関数を取り、次に分数からも取る必要があります。

それが理由です前「ファンシー」対数の導関数を取得する方法は、よく知られている学校のプロパティを使用して以前に単純化されています。

! 練習ノートが手元にある場合は、これらの数式をそこにコピーします。ノートを持っていない場合は、紙に書いてください。残りのレッスンの例では、これらの式を中心に展開します。

ソリューション自体は次のように定式化できます。

関数を変換しましょう:

導関数を見つけます。

関数自体の予備的な変換により、ソリューションが大幅に簡素化されました。したがって、類似の対数が微分のために提案されている場合は、常に「それを分解する」ことをお勧めします。

次に、独立したソリューションの簡単な例をいくつか示します。

例 9

関数の微分を求める

例 10

関数の微分を求める

レッスンの最後にすべての変換と答え。

対数導関数

対数の導関数がそのような甘い音楽である場合、疑問が生じます。場合によっては、対数を人為的に整理することは可能ですか? できる！そして必要ですらあります。

例 11

関数の微分を求める

最近検討した同様の例。何をすべきか？商の微分規則を続けて適用し、次に積の微分規則を適用することができます。この方法の欠点は、3 階建ての分数が非常に多くなり、まったく処理したくないことです。

しかし、理論的にも実践的にも、対数導関数のような素晴らしいものがあります。対数は、両側に「ぶら下げる」ことで人為的に整理できます。

ノート ：なぜなら関数は負の値をとることができます。その場合、一般的に言えば、モジュールを使用する必要があります。、微分の結果として消えます。ただし、現在の設計も許容されます。デフォルトでは、複雑値。しかし、厳密に言えば、どちらの場合も予約する必要があります。.

ここで、右辺の対数を可能な限り「分解」する必要があります (数式が目の前に?)。このプロセスについて詳しく説明します。

差別化から始めましょう。
両方の部分をストロークで締めくくります。

右辺の導関数は非常に単純です。これについてはコメントしません。このテキストを読んでいるのであれば、自信を持って扱えるはずだからです。

左側はどうですか？

左側には 複雑な関数. 「なぜ、対数の下に「y」という文字が 1 つあるのですか?」という質問が予想されます。

事実は、この「1文字のy」 - それ自体が機能です(あまり明確でない場合は、暗黙的に指定された関数の導関数の記事を参照してください)。したがって、対数は外部関数であり、「y」は内部関数です。そして、複合関数微分規則を使用します :

左側には、まるで魔法のように導関数があります。さらに、比例則に従って、「y」を左辺の分母から右辺の上に投げます。

さて、差別化の際に話した「ゲーム」関数の種類を思い出してください。条件を見てみましょう：

最終的な答え:

例 12

関数の微分を求める

これは自作の例です。レッスンの最後にあるこのタイプの例のサンプルデザイン。

対数導関数の助けを借りて、例 4 ～ 7 のいずれかを解決することができました。もう 1 つのことは、関数がより単純であることです。おそらく、対数導関数の使用はあまり正当化されません。

指数関数の導関数

この関数はまだ考慮していません。指数関数は、 次数と基数は「x」に依存します. 教科書や講義であなたに与えられる典型的な例：

指数関数の導関数を見つける方法は?

今考えた技術、つまり対数導関数を使用する必要があります。両辺に対数をかける：

原則として、右辺の対数の下から次数が取り出されます。

その結果、右側には 2 つの関数の積があり、標準的な式に従って微分されます。 .

導関数を見つけます。このため、両方の部分をストロークで囲みます。

次の手順は簡単です。

ついに：

一部の変換が完全に明確でない場合は、例 11 の説明を注意深く読み直してください。

実際のタスクでは、指数関数は常に、考慮されている講義の例よりも複雑になります。

例 13

関数の微分を求める

対数導関数を使用します。

右側には、定数と、「x」と「x の対数の対数」の 2 つの因数の積があります (別の対数が対数の下にネストされています)。覚えているように、定数を微分するときは、邪魔にならないようにすぐに導関数の符号から外したほうがよいです。そしてもちろん、おなじみのルールを適用します :

試験までまだ時間があると思いますか。月ですか？二？年？練習は、学生が事前に準備を始めた場合に、試験に最もうまく対処できることを示しています。統一国家試験には、学生や将来の志願者が最高点を取るのを妨げる難しい課題がたくさんあります。これらの障害は、克服するために学ぶ必要があります。さらに、これを行うことは難しくありません。チケットからさまざまなタスクを処理する原則を理解する必要があります。その後、新しいものに問題はありません。

対数は一見すると信じられないほど複雑に見えますが、詳しく分析すると、状況ははるかに単純になります。最高のスコアで試験に合格したい場合は、この記事で提案する問題の概念を理解する必要があります。

まず、これらの定義を分離しましょう。対数（ログ）とは？これは、指定された数を得るために基数を上げる必要がある累乗の指標です。明確でない場合は、基本的な例を分析します。

この場合、4 を得るには、下の基数を 2 乗する必要があります。

次に、2 番目の概念について説明します。任意の形式の関数の導関数は、特定の点での関数の変化を特徴付ける概念と呼ばれます。ただし、これは学校のカリキュラムであり、これらの概念を個別に使用する際に問題が発生した場合は、トピックを繰り返す価値があります.

対数の導関数

このトピックに関する USE 課題では、いくつかのタスクを例として挙げることができます。最も単純な対数導関数から始めましょう。次の関数の導関数を見つける必要があります。

次の導関数を見つける必要があります

特別な式があります。

この場合、x=u、log3x=v です。関数の値を式に代入します。

x の導関数は 1 になります。対数は少し難しいです。しかし、値を代入するだけで原理が理解できます。 lg x の導関数は十進対数の導関数であり、ln x の導関数は (e に基づく) 自然対数の導関数であることを思い出してください。

得られた値を式に代入するだけです。自分で試してから、答えを確認してください。

一部の人にとって、ここで何が問題になる可能性がありますか？自然対数の概念を導入しました。それについて話し、同時に問題を解決する方法を考えてみましょう。特に操作の原理を理解していれば、複雑なことは何もわかりません。数学（特に高等教育機関）でよく使われるので、慣れる必要があります。

自然対数の導関数

基本的に、これは底 e に対する対数の導関数です (これは約 2.7 に等しい無理数です)。実際、ln は非常に単純であるため、数学全般でよく使用されます。実際、彼と一緒に問題を解決することも問題にはなりません。自然対数を基数 e で導関数すると、1 を x で割った値になることに注意してください。次の例の解決策が最もわかりやすいでしょう。

2 つの単純な関数からなる複雑な関数と想像してください。

変身するのに十分

x に関する u の導関数を探します。

y = (f (x)) g (x) の形式の指数関数を微分する必要がある場合、または分数を使用して面倒な式を変換する必要がある場合は、対数導関数を使用できます。この資料の枠組みの中で、この式の適用例をいくつか示します。

このトピックを理解するには、導関数表の使用方法を理解し、微分の基本的な規則に精通し、複素関数の導関数が何であるかを理解する必要があります。

対数導関数の式の導出方法

この式を得るには、まず e を底とする対数を取り、次に対数の基本的な性質を適用して結果の関数を単純化する必要があります。その後、暗黙的に与えられた関数の導関数を計算する必要があります。

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y(ln(f(x)))"

式の使用例

これがどのように行われるかの例を示しましょう。

例 1

変数 x の指数関数の x 乗の導関数を計算します。

解決

指定された底で対数を実行し、ln y = ln x x を取得します。対数の性質を考慮すると、これは ln y = x · ln x と表すことができます。ここで、等式の左部分と右部分を微分し、結果を取得します。

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

答え： x x "= x x (ln x + 1)

この問題は、対数導関数を使用せずに、別の方法で解決できます。まず、元の式を変換して、指数べき乗関数の微分から複素関数の導関数の計算に移行する必要があります。次に例を示します。

y = x x = e ln x x = e x ln x ⇒ y " = (e x ln x)" = e x ln x x ln x " = x x x" ln x + x (ln x)" = = x x 1 ln x + x 1 x = x x ln x + 1

もう1つの問題を考えてみましょう。

例 2

関数 y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x の導関数を計算します。

解決

元の関数は分数として表されます。これは、微分を使用して問題を解決できることを意味します。ただし、この関数は非常に複雑であるため、多くの変換が必要になります。したがって、ここでは対数導関数を使用した方がよい y " = y · ln (f (x)) " . なぜそのような計算がより便利なのかを説明しましょう。

ln (f (x)) を見つけることから始めましょう。さらに変換するには、対数の次のプロパティが必要です。

分数の対数は、対数の差として表すことができます。
積の対数は合計として表すことができます。
対数の下の式にべき乗がある場合、それを係数として取り出すことができます。

式を変形してみましょう:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x

その結果、かなり単純な式が得られ、その導関数は簡単に計算できます。

(ln (f (x))) "= 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x" == 1 3 ln (x 2 + 1) "- 3 2 ln x" - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 "- 3 2 1 x - 1 2 1 sin x (sin x)" = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

ここで行ったことを、対数導関数の式に代入する必要があります。

答え： y " \u003d y ln (f (x)) " \u003d x 2 + 1 3 x 3 sin x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

資料を統合するために、次のいくつかの例を調べてください。ここでは、コメントを最小限に抑えた計算のみを示します。

例 3

指数べき乗関数 y = (x 2 + x + 1) x 3 が与えられます。その導関数を計算します。

解決：

y "= y (ln (f (x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " \u003d \ u003d (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

答え： y "= y (ln (f(x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

例 4

式 y = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 の導関数を計算します。

解決

対数導関数の式を適用します。

y " = y ln x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " == y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

答え：

y "= x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) ) - 2x + 2 2 (x 2 + 2x + 2) .

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