ანტიდერივატიული ფუნქცია და განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ფაქტი 1. ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის შებრუნებული მოქმედება, კერძოდ, ფუნქციის აღდგენა ამ ფუნქციის ცნობილი წარმოებულიდან. ამით ფუნქცია აღდგენილია ფ(x) ეწოდება ანტიდერივატივიფუნქციისთვის ვ(x).

განმარტება 1. ფუნქცია ფ(x ვ(x) გარკვეული ინტერვალით X, თუ ყველა მნიშვნელობისთვის xამ ინტერვალიდან თანასწორობა მოქმედებს ფ "(x)=ვ(x), ანუ ეს ფუნქცია ვ(x) არის ანტიდერივატიული ფუნქციის წარმოებული ფ(x). .

მაგალითად, ფუნქცია ფ(x) = ცოდვა x არის ფუნქციის ანტიდერივატი ვ(x) = cos x მთელ რიცხვთა წრფეზე, ვინაიდან x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (ცოდვა x)" = (კოს x) .

განმარტება 2. ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ვ(x) არის მისი ყველა ანტიდერივატივის ერთობლიობა. ამ შემთხვევაში, აღნიშვნა გამოიყენება

∫

ვ(x)dx

სად არის ნიშანი ∫ ინტეგრალური ნიშანი, ფუნქცია ეწოდება ვ(x) – ინტეგრირებული ფუნქცია და ვ(x)dx - ინტეგრირებული გამოხატულება.

ამრიგად, თუ ფ(x) – ზოგიერთი ანტიწარმოებული ამისთვის ვ(x), ეს

∫

ვ(x)dx = ფ(x) +C

სად C - თვითნებური მუდმივი (მუდმივი).

ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლის, როგორც განუსაზღვრელი ინტეგრალის მნიშვნელობის გასაგებად, შესაბამისია შემდეგი ანალოგია. იყოს კარი (ტრადიციული ხის კარი). მისი ფუნქციაა "იყოს კარი". რისგან არის დამზადებული კარი? ხისგან დამზადებული. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის „იყოს კარი“, ანუ მისი განუსაზღვრელი ინტეგრალი ინტეგრანტის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე არის ფუნქცია „ვიყო ხე + C“, სადაც C არის მუდმივი, რომელიც ამ კონტექსტში შეიძლება. მიუთითეთ, მაგალითად, ხის ტიპი. ისევე, როგორც კარი მზადდება ხისგან ზოგიერთი ხელსაწყოების გამოყენებით, ფუნქციის წარმოებული „დამზადებულია“ ანტიდერივატიული ფუნქციის გამოყენებით. წარმოებულის შესწავლისას ვისწავლეთ ფორმულები .

შემდეგ საერთო ობიექტების ფუნქციების ცხრილი და მათი შესაბამისი ანტიდერივატივები („იყო კარი“ - „იყო ხე“, „იყო კოვზი“ - „იყო მეტალი“ და ა.შ.) საბაზისო ცხრილის მსგავსია. განუსაზღვრელი ინტეგრალები, რომლებიც ქვემოთ იქნება მოცემული. განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი ჩამოთვლის საერთო ფუნქციებს ანტიწარმოებულების მითითებით, საიდანაც ეს ფუნქციები "დამზადებულია". განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის ამოცანების ნაწილში მოცემულია ინტეგრადები, რომელთა ინტეგრირება შესაძლებელია უშუალოდ დიდი ძალისხმევის გარეშე, ანუ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილის გამოყენებით. უფრო რთულ ამოცანებში ინტეგრანტი ჯერ უნდა გარდაიქმნას ისე, რომ ცხრილის ინტეგრალები იყოს გამოყენებული.

ფაქტი 2. ფუნქციის, როგორც ანტიწარმოებულის აღდგენისას მხედველობაში უნდა მივიღოთ თვითნებური მუდმივი (მუდმივი) Cდა იმისათვის, რომ არ დაწეროთ ანტიწარმოებულების სია სხვადასხვა მუდმივებით 1-დან უსასრულობამდე, თქვენ უნდა დაწეროთ ანტიწარმოებულების ნაკრები თვითნებური მუდმივით. Cმაგალითად, ასე: 5 x³+C. ასე რომ, თვითნებური მუდმივი (მუდმივი) შედის ანტიწარმოებულის გამოხატულებაში, რადგან ანტიწარმოებული შეიძლება იყოს ფუნქცია, მაგალითად, 5. x³+4 ან 5 x³+3 და დიფერენცირებისას, 4 ან 3, ან ნებისმიერი სხვა მუდმივი მიდის ნულზე.

მოდით დავსვათ ინტეგრაციის პრობლემა: ამ ფუნქციისთვის ვ(x) იპოვნეთ ასეთი ფუნქცია ფ(x), რომლის წარმოებულიტოლია ვ(x).

მაგალითი 1.იპოვეთ ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე

გამოსავალი. ამ ფუნქციისთვის ანტიდერივატი არის ფუნქცია

ფუნქცია ფ(x) ფუნქციის ანტიდერივატი ეწოდება ვ(x), თუ წარმოებული ფ(x) უდრის ვ(x), ან, რაც იგივეა, დიფერენციალური ფ(x) ტოლია ვ(x) dx, ე.ი.

(2)

მაშასადამე, ფუნქცია ფუნქციის ანტიდერივატია. თუმცა, ეს არ არის ერთადერთი ანტიდერივატი . ისინი ასევე ასრულებენ ფუნქციებს

სად თან- თვითნებური მუდმივი. ეს შეიძლება დადასტურდეს დიფერენციაციის გზით.

ამრიგად, თუ ფუნქციისთვის არის ერთი ანტიდერივატი, მაშინ მისთვის არის ანტიწარმოებულების უსასრულო რაოდენობა, რომლებიც განსხვავდება მუდმივი წევრით. ფუნქციის ყველა ანტიდერივატი იწერება ზემოთ მოყვანილი ფორმით. ეს გამომდინარეობს შემდეგი თეორემიდან.

თეორემა (ფაქტის ფორმალური განცხადება 2).თუ ფ(x) – ფუნქციის ანტიდერივატი ვ(x) გარკვეული ინტერვალით X, შემდეგ ნებისმიერი სხვა ანტიდერივატი ამისთვის ვ(x) იმავე ინტერვალზე შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფორმით ფ(x) + C, სად თან- თვითნებური მუდმივი.

შემდეგ მაგალითში მივმართავთ ინტეგრალების ცხრილს, რომელიც მოცემულია მე-3 პუნქტში, განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების შემდეგ. ამას ვაკეთებთ მთელი ცხრილის წაკითხვამდე, რათა ზემოაღნიშნულის არსი ნათელი იყოს. ხოლო ცხრილისა და თვისებების შემდეგ, ჩვენ მათ მთლიანობაში გამოვიყენებთ ინტეგრაციის დროს.

მაგალითი 2.იპოვნეთ ანტიდერივატიული ფუნქციების ნაკრები:

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ანტიდერივატიული ფუნქციების ერთობლიობას, საიდანაც ეს ფუნქციები "დამზადებულია". ინტეგრალების ცხრილიდან ფორმულების ხსენებისას, ახლა უბრალოდ მიიღეთ, რომ არსებობს ასეთი ფორმულები და ჩვენ თვითონ განვსაზღვრავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილს ცოტა უფრო შორს.

1) ფორმულის (7) გამოყენება ინტეგრალების ცხრილიდან ნ= 3, ვიღებთ

2) ფორმულის (10) გამოყენება ინტეგრალების ცხრილიდან ამისთვის ნ= 1/3, გვაქვს

3) მას შემდეგ, რაც

შემდეგ ფორმულის მიხედვით (7) ერთად ნ= -1/4 ვპოულობთ

თავად ფუნქცია არ არის ჩაწერილი ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ. ვდა მისი პროდუქტი დიფერენციალურად dx. ეს კეთდება უპირველეს ყოვლისა იმისთვის, რომ მიეთითოს, რომელი ცვლადით არის მოძიებული ანტიწარმოებული. Მაგალითად,

, ;

აქ ორივე შემთხვევაში ინტეგრანი უდრის , მაგრამ მისი განუსაზღვრელი ინტეგრალები განხილულ შემთხვევებში განსხვავებული აღმოჩნდება. პირველ შემთხვევაში, ეს ფუნქცია განიხილება, როგორც ცვლადის ფუნქცია x, ხოლო მეორეში - როგორც ფუნქცია ზ .

ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის პროცესს ამ ფუნქციის ინტეგრირება ეწოდება.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა

დავუშვათ, რომ მრუდი უნდა ვიპოვოთ y=F(x)და ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ტანგენსი კუთხის ტანგენსი მის თითოეულ წერტილზე არის მოცემული ფუნქცია f(x)ამ პუნქტის აბსციზა.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის მიხედვით, ტანგენსის დახრის კუთხის ტანგენსი მრუდის მოცემულ წერტილში. y=F(x)წარმოებულის მნიშვნელობის ტოლი F"(x). ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი ფუნქცია F(x), რისთვისაც F"(x)=f(x). ამოცანაში საჭირო ფუნქცია F(x)არის ანტიდერივატი f(x). პრობლემის პირობებს აკმაყოფილებს არა ერთი მრუდი, არამედ მრუდების ოჯახი. y=F(x)- ერთ-ერთი ამ მრუდისა და ნებისმიერი სხვა მრუდის მიღება შესაძლებელია მისგან ღერძის გასწვრივ პარალელური გადაყვანით ოი.

დავარქვათ ანტიწარმოებული ფუნქციის გრაფიკი f(x)ინტეგრალური მრუდი. თუ F"(x)=f(x), შემდეგ ფუნქციის გრაფიკი y=F(x)არის ინტეგრალური მრუდი.

ფაქტი 3. განუსაზღვრელი ინტეგრალი გეომეტრიულად წარმოდგენილია ყველა ინტეგრალური მრუდის ოჯახით , როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე. თითოეული მრუდის მანძილი კოორდინატების საწყისიდან განისაზღვრება თვითნებური ინტეგრაციის მუდმივით C.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები

ფაქტი 4. თეორემა 1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული ინტეგრადის ტოლია, ხოლო მისი დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია.

ფაქტი 5. თეორემა 2. ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი ვ(x) ფუნქციის ტოლია ვ(x) მუდმივ ვადამდე , ე.ი.

(3)

1 და 2 თეორემები აჩვენებს, რომ დიფერენციაცია და ინტეგრაცია ურთიერთშებრუნებული ოპერაციებია.

ფაქტი 6. თეორემა 3. ინტეგრალის მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განუსაზღვრელი ინტეგრალის ნიშნიდან. , ე.ი.

ინტეგრალების ამოხსნა მარტივი ამოცანაა, მაგრამ მხოლოდ რამდენიმესთვის. ეს სტატია მათთვისაა, ვისაც სურს ინტეგრალების გაგება ისწავლოს, მაგრამ მათ შესახებ არაფერი ან თითქმის არაფერი იცის. ინტეგრალური... რატომ არის საჭირო? როგორ გამოვთვალოთ? რა არის განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ინტეგრალები?

თუ ინტეგრალის ერთადერთი გამოყენება, რაც თქვენ იცით, არის ინტეგრალური ხატის ფორმის ნაქსოვი კაკლის გამოყენება ძნელად მისადგომი ადგილებიდან რაიმე სასარგებლო გამოსატანად, მაშინ მოგესალმებით! შეიტყვეთ, როგორ ამოხსნათ უმარტივესი და სხვა ინტეგრალები და რატომ არ შეგიძლიათ ამის გარეშე მათემატიკაში.

ჩვენ ვსწავლობთ კონცეფციას « განუყოფელი »

ინტეგრაცია ჯერ კიდევ ძველ ეგვიპტეში იყო ცნობილი. რა თქმა უნდა, არა მისი თანამედროვე ფორმით, მაგრამ მაინც. მას შემდეგ მათემატიკოსებმა დაწერეს მრავალი წიგნი ამ თემაზე. განსაკუთრებით გამოირჩეოდნენ ნიუტონი და ლაიბნიცი , მაგრამ საგნების არსი არ შეცვლილა.

როგორ გავიგოთ ინტეგრალები ნულიდან? Არ არსებობს გზა! ამ თემის გასაგებად მაინც დაგჭირდებათ მათემატიკური ანალიზის საფუძვლების საბაზისო ცოდნა. ჩვენს ბლოგზე უკვე გვაქვს ინფორმაცია ინტეგრალების გასაგებად .

განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მოდით, გარკვეული ფუნქცია გვქონდეს f(x) .

განუსაზღვრელი ინტეგრალური ფუნქცია f(x) ამ ფუნქციას ეძახიან F(x) , რომლის წარმოებული ფუნქციის ტოლია f(x) .

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ინტეგრალი არის წარმოებული საპირისპირო ან ანტიდერივატი. სხვათა შორის, წაიკითხეთ როგორ ჩვენს სტატიაში.

ანტიდერივატი არსებობს ყველა უწყვეტი ფუნქციისთვის. ასევე, მუდმივი ნიშანი ხშირად ემატება ანტიწარმოებულს, რადგან ფუნქციების წარმოებულები, რომლებიც განსხვავდებიან მუდმივობით, ემთხვევა ერთმანეთს. ინტეგრალის პოვნის პროცესს ინტეგრაცია ეწოდება.

მარტივი მაგალითი:

იმისათვის, რომ მუდმივად არ გამოვთვალოთ ელემენტარული ფუნქციების ანტიდერივატივები, მოსახერხებელია მათი განთავსება ცხრილში და მზა მნიშვნელობების გამოყენება.

ინტეგრალების სრული ცხრილი სტუდენტებისთვის

განსაზღვრული ინტეგრალი

როდესაც საქმე გვაქვს ინტეგრალის ცნებასთან, საქმე გვაქვს უსასრულო სიდიდეებთან. ინტეგრალი დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ფიგურის ფართობი, არაერთგვაროვანი სხეულის მასა, არათანაბარი მოძრაობის დროს გავლილი მანძილი და მრავალი სხვა. უნდა გვახსოვდეს, რომ ინტეგრალი არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობის უსასრულოდ მცირე წევრთა ჯამი.

მაგალითად, წარმოიდგინეთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი.

როგორ მოვძებნოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ფუნქციის გრაფიკით? ინტეგრალის გამოყენება! მოდით გავყოთ მრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოიფარგლება კოორდინატთა ღერძებით და ფუნქციის გრაფიკით, უსასრულოდ მცირე სეგმენტებად. ამ გზით ფიგურა დაიყოფა თხელ სვეტებად. სვეტების ფართობების ჯამი იქნება ტრაპეციის ფართობი. მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ასეთი გაანგარიშება მიახლოებით შედეგს მისცემს. თუმცა, რაც უფრო მცირე და ვიწროა სეგმენტები, მით უფრო ზუსტი იქნება გაანგარიშება. თუ მათ ისე შევამცირებთ, რომ სიგრძე ნულისკენ მიისწრაფვის, მაშინ სეგმენტების ფართობების ჯამი ფიგურის ფართობამდე მიისწრაფვის. ეს არის განსაზღვრული ინტეგრალი, რომელიც ასე იწერება:

a და b წერტილებს ინტეგრაციის ლიმიტები ეწოდება.

« ინტეგრალური »

Ჰო მართლა! ჩვენი მკითხველისთვის ახლა მოქმედებს 10%-იანი ფასდაკლება

დუმებისთვის ინტეგრალების გამოთვლის წესები

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები

როგორ ამოხსნათ განუსაზღვრელი ინტეგრალი? აქ განვიხილავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს, რაც გამოგადგებათ მაგალითების ამოხსნისას.

• ინტეგრალის წარმოებული უდრის ინტეგრანდს:

• მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ:

• ჯამის ინტეგრალი ინტეგრალების ჯამის ტოლია. ეს ასევე ეხება განსხვავებას:

განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები

• წრფივიობა:

• ინტეგრალის ნიშანი იცვლება, თუ შეიცვლება ინტეგრაციის საზღვრები:

• ზე ნებისმიერიქულები ა, ბდა თან:

ჩვენ უკვე გავარკვიეთ, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის ჯამის ზღვარი. მაგრამ როგორ მივიღოთ კონკრეტული მნიშვნელობა მაგალითის ამოხსნისას? ამისათვის არსებობს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა:

ინტეგრალების ამოხსნის მაგალითები

ქვემოთ განვიხილავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი და მაგალითები ამონახსნებით. ჩვენ გთავაზობთ თავად გაერკვნენ გადაწყვეტის სირთულეები და თუ რამე გაუგებარია, დასვით შეკითხვები კომენტარებში.

მასალის გასაძლიერებლად უყურეთ ვიდეოს იმის შესახებ, თუ როგორ იხსნება ინტეგრალები პრაქტიკაში. არ დაიდარდოთ, თუ ინტეგრალი მაშინვე არ მიგეცემათ. დაუკავშირდით პროფესიონალურ სერვისს სტუდენტებისთვის და ნებისმიერი სამმაგი ან მრუდი ინტეგრალი დახურულ ზედაპირზე იქნება თქვენი ძალა.

>>ინტეგრაციის მეთოდები

ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები

ინტეგრალის, განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება, ინტეგრალების ცხრილი, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, ინტეგრაცია ნაწილებით, ინტეგრალების გამოთვლის მაგალითები.

განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მოცემულ X ინტერვალში დიფერენცირებადი ფუნქცია F(x) ეწოდება ფუნქციის ანტიდერივატი f(x), ან f(x-ის ინტეგრალი), თუ ყოველ x ∈X-ზე მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:

F" (x) = f(x). (8.1)

მოცემული ფუნქციისთვის ყველა ანტიწარმოებულის პოვნას მისი ეწოდება ინტეგრაცია. განუსაზღვრელი ინტეგრალური ფუნქცია f(x) მოცემულ ინტერვალზე X არის ყველა ანტიწარმოებული ფუნქციის სიმრავლე f(x) ფუნქციისთვის; დანიშნულება -

თუ F(x) არის f(x) ფუნქციის ზოგიერთი ანტიწარმოებული, მაშინ ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

ინტეგრალების ცხრილი

პირდაპირ განმარტებიდან ვიღებთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ძირითად თვისებებს და ცხრილის ინტეგრალების ჩამონათვალს:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

ცხრილის ინტეგრალების სია

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (მ ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = არქტანი x + C

8. = რკალი x + C

10. = - ctg x + C

ცვლადი ჩანაცვლება

მრავალი ფუნქციის ინტეგრირებისთვის გამოიყენეთ ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი ან ჩანაცვლებები,საშუალებას გაძლევთ დაიყვანოთ ინტეგრალები ცხრილის სახით.

თუ ფუნქცია f(z) უწყვეტია [α,β]-ზე, z =g(x) ფუნქციას აქვს უწყვეტი წარმოებული და α ≤ g(x) ≤ β, მაშინ

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

უფრო მეტიც, მარჯვენა მხარეს ინტეგრაციის შემდეგ უნდა გაკეთდეს ჩანაცვლება z=g(x).

ამის დასამტკიცებლად საკმარისია ორიგინალური ინტეგრალის დაწერა ფორმაში:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Მაგალითად:

1)

2) .

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი

მოდით, u = f(x) და v = g(x) იყოს ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ უწყვეტი . შემდეგ, სამუშაოს მიხედვით,

d(uv))= udv + vdu ან udv = d(uv) - ვდუ.

d(uv) გამოხატვისთვის, ანტიწარმოებული აშკარად იქნება uv, ამიტომ ფორმულა მოქმედებს:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

ეს ფორმულა გამოხატავს წესს ნაწილების მიერ ინტეგრაცია. udv=uv"dx გამოხატვის ინტეგრაციას მივყავართ vdu=vu"dx გამოხატვის ინტეგრაციამდე.

მოდით, მაგალითად, გსურთ იპოვოთ ∫xcosx dx. მოდით დავაყენოთ u = x, dv = cosxdx, ამიტომ du=dx, v=sinx. მერე

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის წესს უფრო შეზღუდული ფარგლები აქვს, ვიდრე ცვლადების ჩანაცვლება. მაგრამ არსებობს ინტეგრალების მთელი კლასები, მაგალითად,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax და სხვა, რომლებიც გამოითვლება ზუსტად ინტეგრაციის გამოყენებით ნაწილების მიხედვით.

განსაზღვრული ინტეგრალი

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება წარმოდგენილია შემდეგნაირად. მოდით, ინტერვალზე განისაზღვროს ფუნქცია f(x). მოდით დავყოთ სეგმენტი [a,b] ნნაწილები წერტილებით a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i ფორმის ჯამი ეწოდება განუყოფელი ჯამიდა მისი ზღვარი λ = maxΔx i → 0, თუ ის არსებობს და სასრულია, ე.წ. განსაზღვრული ინტეგრალიფუნქციები f(x) of აადრე ბდა დანიშნულია:

F(ξ i)Δx i (8.5).

ფუნქცია f(x) ამ შემთხვევაში ეწოდება ინტეგრირებადი ინტერვალზე, რიცხვები a და b ეწოდება ინტეგრალის ქვედა და ზედა საზღვრები.

შემდეგი თვისებები მართალია გარკვეული ინტეგრალისთვის:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

ბოლო ქონება ე.წ საშუალო ღირებულების თეორემა.

ვთქვათ f(x) უწყვეტი იყოს . შემდეგ ამ სეგმენტზე არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი

∫f(x)dx = F(x) + C

და ხდება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულაგანსაზღვრული ინტეგრალის დაკავშირება განუსაზღვრელ ინტეგრალთან:

F(b) - F(a). (8.6)

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: განსაზღვრული ინტეგრალი არის მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ზემოდან მრუდით y=f(x), სწორი ხაზებით x=a და x=b და ღერძის სეგმენტი. ოქსი.

არასწორი ინტეგრალები

უსასრულო საზღვრების მქონე ინტეგრალები და უწყვეტი (შეუზღუდავი) ფუნქციების ინტეგრალები ე.წ. არა შენი. პირველი ტიპის არასწორი ინტეგრალები -ეს არის ინტეგრალები უსასრულო ინტერვალით, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

(8.7)

თუ ეს ზღვარი არსებობს და სასრულია, მაშინ მას უწოდებენ f(x)-ის კონვერგენტული არასწორი ინტეგრალი[a,+ ∞) ინტერვალზე და გამოიძახეთ ფუნქცია f(x). ინტეგრირებადი უსასრულო ინტერვალით[a,+ ∞). წინააღმდეგ შემთხვევაში, ინტეგრალი ითვლება არ არსებობს ან განსხვავდება.

არასწორი ინტეგრალები ინტერვალებზე (-∞,b] და (-∞, + ∞) ანალოგიურად არის განსაზღვრული:

მოდით განვსაზღვროთ შეუზღუდავი ფუნქციის ინტეგრალის კონცეფცია. თუ f(x) უწყვეტია ყველა მნიშვნელობისთვის xსეგმენტი, გარდა c წერტილისა, სადაც f(x)-ს აქვს უსასრულო შეუწყვეტლობა, მაშინ მეორე სახის არასწორი ინტეგრალი f(x) დაწყებული a-დან b-მდეთანხას ჰქვია:

თუ ეს საზღვრები არსებობს და სასრულია. Დანიშნულება:

ინტეგრალური გამოთვლების მაგალითები

მაგალითი 3.30.გამოთვალეთ ∫dx/(x+2).

გამოსავალი.ავღნიშნოთ t = x+2, შემდეგ dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

მაგალითი 3.31. იპოვეთ ∫ tgxdx.

გამოსავალი.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. მოდით t=cosx, შემდეგ ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

გამოსავალი.

მაგალითი3.33. იპოვე .

გამოსავალი. =

.

მაგალითი3.34 . იპოვეთ ∫arctgxdx.

გამოსავალი. მოდით ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. ავღნიშნოთ u=arctgx, dv=dx. მაშინ du = dx/(x 2 +1), v=x, საიდანაც ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; რადგან
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

მაგალითი3.35 . გამოთვალეთ ∫lnxdx.

გამოსავალი.ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოყენებით, მივიღებთ:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. შემდეგ ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

მაგალითი3.36 . გამოთვალეთ ∫e x sinxdx.

გამოსავალი.ავღნიშნოთ u = e x, dv = sinxdx, შემდეგ du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ჩვენ ასევე ვაერთიანებთ ∫e x cosxdx ინტეგრალს ნაწილებით: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ჩვენ გვაქვს:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. მივიღეთ მიმართება ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, საიდანაც 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

მაგალითი 3.37. გამოთვალეთ J = ∫cos(lnx)dx/x.

გამოსავალი.ვინაიდან dx/x = dlnx, მაშინ J= ∫cos(lnx)d(lnx). თუ შევცვლით lnx-ს t-ით, მივიღებთ ცხრილის ინტეგრალს J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

მაგალითი 3.38 . გამოთვალეთ J =.

გამოსავალი.იმის გათვალისწინებით, რომ = d(lnx), ჩვენ ვცვლით lnx = t. შემდეგ J = .

განმარტება 1

ანტიწარმოებული $F(x)$ $y=f(x)$ ფუნქციისთვის $$ სეგმენტზე არის ფუნქცია, რომელიც დიფერენცირებადია ამ სეგმენტის თითოეულ წერტილში და შემდეგი თანასწორობა მოქმედებს მის წარმოებულზე:

განმარტება 2

მოცემული ფუნქციის $y=f(x)$-ის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლეს, რომელიც განსაზღვრულია გარკვეულ სეგმენტზე, ეწოდება მოცემული ფუნქციის $y=f(x)$ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. განუსაზღვრელი ინტეგრალი აღინიშნება სიმბოლოთ $\int f(x)dx $.

წარმოებულების ცხრილიდან და განმარტება 2 ვიღებთ ძირითადი ინტეგრალების ცხრილს.

მაგალითი 1

შეამოწმეთ ფორმულა 7-ის მართებულობა ინტეგრალების ცხრილიდან:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

მოდით განვასხვავოთ მარჯვენა მხარე: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

მაგალითი 2

შეამოწმეთ ფორმულის 8 მართებულობა ინტეგრალების ცხრილიდან:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

მოდით განვასხვავოთ მარჯვენა მხარე: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

წარმოებული აღმოჩნდა ინტეგრადის ტოლი. ამიტომ, ფორმულა სწორია.

მაგალითი 3

შეამოწმეთ ფორმულის მართებულობა 11" ინტეგრალების ცხრილიდან:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

განვასხვავოთ მარჯვენა მხარე: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

წარმოებული აღმოჩნდა ინტეგრადის ტოლი. ამიტომ, ფორმულა სწორია.

მაგალითი 4

შეამოწმეთ მე-12 ფორმულის მართებულობა ინტეგრალების ცხრილიდან:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \მარჯვნივ|+ C,\, \, C=const.\]

მოდით განვასხვავოთ მარჯვენა მხარე: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x)) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \მარჯვნივ)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $წარმოებული აღმოჩნდა ინტეგრანტის ტოლი. ამიტომ, ფორმულა სწორია.

მაგალითი 5

შეამოწმეთ ფორმულის 13" მართებულობა ინტეგრალების ცხრილიდან:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

მოდით განვასხვავოთ მარჯვენა მხარე: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \მარჯვნივ)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

წარმოებული აღმოჩნდა ინტეგრადის ტოლი. ამიტომ, ფორმულა სწორია.

მაგალითი 6

შეამოწმეთ ფორმულა 14-ის მართებულობა ინტეგრალების ცხრილიდან:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

მოდით განვასხვავოთ მარჯვენა მხარე: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

წარმოებული აღმოჩნდა ინტეგრადის ტოლი. ამიტომ, ფორმულა სწორია.

მაგალითი 7

იპოვნეთ ინტეგრალი:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\მარჯვნივ) dx.\]

გამოვიყენოთ ჯამის ინტეგრალური თეორემა:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

მოდით გამოვიყენოთ თეორემა ინტეგრალური ნიშნის გარეთ მუდმივი ფაქტორის განთავსების შესახებ:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

ინტეგრალების ცხრილის მიხედვით:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

პირველი ინტეგრალის გამოთვლისას ვიყენებთ წესს 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

აქედან გამომდინარე,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]