Engels: Wikipedia maakt de site veiliger. U gebruikt een oude webbrowser die in de toekomst geen verbinding meer kan maken met Wikipedia. Werk uw apparaat bij of neem contact op met uw IT-beheerder.

中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全 您 正在 使用 旧 的 浏览器 ， 在 在 将来 无法 维基百科。 更新 您 的 设备 或 联络 您 的 管理员。 提供 更 长 ， 更 具 的 的 仅 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语Nederlands

Spaans: Wikipedia heeft zijn positie in de meeste gevallen. Gebruikt u een web-navigator die geen verbinding kan maken met Wikipedia in de toekomst. Actualice su dispositivo of contacte a su administrator informático. Er is een grotere actualisering en meer techniek in het Engels.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Frans: Wikipedia kan de veiligheid van de site vergroten. U maakt gebruik van een oude navigatie op het web, maar u kunt ook een verbinding maken met Wikipedia Lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil of de contactpersoon van uw administrateur informatique à cette fin. Des aanvullende informatie plus technieken en Engels zijn niet beschikbaar.

日本語: ウィキペディア で は サイト の の セキュリティ を 高 め て て ます。 利用 利用 の ブラウザ は バージョン が 古く 、 、 、 ウィキペディア に 接続 でき なく 性 が あり あり。。 相談 相談 技術 技術 の の の 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい.詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP 情報 は 以下 英語 英語 で 提供 し て て い ます。。

Duits: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Als je een andere webbrowser gebruikt, kun je niet meer op Wikipedia werken. Bitte actualisiere dein Gerät of sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in English Sprache.

Italiaans: Wikipedia laat zien hoe het zit. Stai usando een browserweb kan niet worden gebruikt in de toekomst van Wikipedia in de toekomst. Voor uw voorkeur kunt u contact opnemen met uw informaticabeheerder. Più in basso è beschikbaar een aggiornamento più dettagliato en techniek in het Engels.

Magyaars: Biztonságosabb lesz een Wikipedia. In ieder geval, met de használsz, geen lesz képes kapcsolódni a jövőben. De moderne tijd heeft een vagius probleem veroorzaakt en een probleem veroorzaakt. Alább olvashatod en reszletesebb magyarázatot (angolul).

Zweden: Wikipedia verwijst naar meer informatie. Er zijn veel websites die veel interesse hebben in Wikipedia en framtiden. Update uw account of contact met uw IT-beheerder. Het is een Finse taal en meer technische kennis van de Engelse taal.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

We verwijderen de ondersteuning voor onveilige TLS-protocolversies, met name TLSv1.0 en TLSv1.1, waarvan uw browsersoftware afhankelijk is om verbinding te maken met onze sites. Dit wordt meestal veroorzaakt door verouderde browsers of oudere Android-smartphones. Of het kan interferentie zijn van zakelijke of persoonlijke "Web Security" -software, die de verbindingsbeveiliging in feite verlaagt.

U moet uw webbrowser upgraden of dit probleem op een andere manier oplossen om toegang te krijgen tot onze sites. Dit bericht blijft staan ​​tot 1 januari 2020. Na die datum kan uw browser geen verbinding meer maken met onze servers.

In deze les bekijken we nog twee bewerkingen met vectoren: kruisproduct van vectoren En gemengd product van vectoren (directe link voor degenen die het nodig hebben). Het is oké, het gebeurt soms dat voor volledig geluk, naast puntproduct van vectoren, er is steeds meer nodig. Dat is vectorverslaving. Men kan de indruk krijgen dat we in de jungle van de analytische meetkunde terechtkomen. Dit is fout. In dit deel van de hogere wiskunde is er over het algemeen weinig brandhout, behalve misschien genoeg voor Pinokkio. In feite is het materiaal heel gewoon en eenvoudig - nauwelijks moeilijker dan hetzelfde scalair product, zelfs zullen er minder typische taken zijn. Het belangrijkste in de analytische meetkunde, zoals velen zullen zien of al hebben gezien, is GEEN VERKEERDE BEREKENINGEN TE MAKEN. Herhaal als een spreuk, en je zult gelukkig zijn =)

Als de vectoren ergens ver weg schitteren, als bliksem aan de horizon, maakt het niet uit, begin met de les Vectoren voor dummies om basiskennis over vectoren te herstellen of opnieuw op te doen. Meer voorbereide lezers kunnen selectief kennismaken met de informatie, ik heb geprobeerd de meest complete verzameling voorbeelden te verzamelen die vaak in praktisch werk te vinden zijn

Waar word je blij van? Toen ik klein was, kon ik met twee en zelfs drie ballen jongleren. Het is goed gelukt. Nu is het helemaal niet nodig om te jongleren, aangezien we het zullen overwegen alleen ruimtevectoren, en platte vectoren met twee coördinaten worden weggelaten. Waarom? Dit is hoe deze acties zijn ontstaan ​​- de vector en het gemengde product van vectoren worden gedefinieerd en werken in een driedimensionale ruimte. Al makkelijker!

Bij deze bewerking, op dezelfde manier als bij het scalaire product, twee vectoren. Laat het onvergankelijke brieven zijn.

De actie zelf aangegeven op de volgende manier: . Er zijn andere opties, maar ik ben gewend om het kruisproduct van vectoren op deze manier aan te duiden, tussen vierkante haken met een kruis.

En onmiddelijk vraag: indien binnen puntproduct van vectoren het gaat om twee vectoren, en hier worden dan ook twee vectoren vermenigvuldigd wat is het verschil? Een duidelijk verschil allereerst in het RESULTAAT:

Het resultaat van het scalaire product van vectoren is een GETAL:

Het resultaat van het kruisproduct van vectoren is een VECTOR: , dat wil zeggen, we vermenigvuldigen de vectoren en krijgen weer een vector. Gesloten club. Eigenlijk vandaar de naam van de operatie. In diverse onderwijsliteratuur kunnen de aanduidingen ook verschillen, ik zal de letter gebruiken.

Definitie van kruisproduct

Eerst komt er een definitie met een foto, dan commentaar.

Definitie: kruisproduct niet-collineair vectoren, in deze volgorde genomen, heet VECTOR, lengte dat is numeriek gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram, gebouwd op deze vectoren; vector orthogonaal op vectoren, en is zo gericht dat de basis een juiste oriëntatie heeft:

We analyseren de definitie door botten, er zijn veel interessante dingen!

We kunnen dus de volgende belangrijke punten benadrukken:

1) Bronvectoren, per definitie aangegeven met rode pijlen niet collineair. Het is passend om het geval van collineaire vectoren iets later te bekijken.

2) Vectoren genomen in een strikte volgorde: – "a" wordt vermenigvuldigd met "be", niet "zijn" naar "een". Het resultaat van vectorvermenigvuldiging is VECTOR , wat in blauw wordt aangegeven. Als de vectoren in omgekeerde volgorde worden vermenigvuldigd, krijgen we een vector die even lang en tegengesteld van richting is (karmozijnrode kleur). Namelijk de gelijkheid .

3) Laten we nu kennis maken met de geometrische betekenis van het vectorproduct. Dit is een heel belangrijk punt! De LENGTE van de blauwe vector (en dus de karmozijnrode vector ) is numeriek gelijk aan de AREA van het parallellogram gebouwd op de vectoren . In de figuur is dit parallellogram zwart gearceerd.

Opmerking : de tekening is schematisch en natuurlijk is de nominale lengte van het kruisproduct niet gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram.

We herinneren ons een van de geometrische formules: het gebied van een parallellogram is gelijk aan het product van aangrenzende zijden en de sinus van de hoek daartussen. Daarom is op basis van het voorgaande de formule voor het berekenen van de LENGTE van een vectorproduct geldig:

Ik benadruk dat we het in de formule hebben over de LENGTE van de vector, en niet over de vector zelf. Wat is de praktische betekenis? En de betekenis is zodanig dat bij problemen van analytische meetkunde het gebied van een parallellogram vaak wordt gevonden door het concept van een vectorproduct:

We krijgen de tweede belangrijke formule. De diagonaal van het parallellogram (rode stippellijn) verdeelt het in twee gelijke driehoeken. Daarom kan de oppervlakte van een driehoek gebouwd op vectoren (rode arcering) worden gevonden met de formule:

4) Een even belangrijk feit is dat de vector loodrecht op de vectoren staat . Natuurlijk staat de tegengesteld gerichte vector (karmozijnrode pijl) ook loodrecht op de oorspronkelijke vectoren .

5) De vector is zo gericht dat basis Het heeft rechts oriëntatie. In een les over overgang naar een nieuwe basis Ik heb uitgebreid gesproken over vlakke oriëntatie, en nu zullen we uitzoeken wat de oriëntatie van de ruimte is. Ik zal het op je vingers uitleggen rechter hand. Combineer mentaal wijsvinger met vector-en middelvinger met vector. Ringvinger en pink druk in je handpalm. Als gevolg duim- het vectorproduct zal omhoog kijken. Dit is de rechtsgeoriënteerde basis (deze staat in de figuur). Verwissel nu de vectoren ( wijs- en middelvinger) op sommige plaatsen, als gevolg hiervan zal de duim ronddraaien en zal het vectorproduct al naar beneden kijken. Ook dit is een rechtsgeoriënteerde grondslag. Misschien heb je een vraag: welke basis heeft een linkse oriëntatie? "Wijs" dezelfde vingers toe linkerhand vectoren , en verkrijg de linkerbasis en linkerruimteoriëntatie (in dit geval bevindt de duim zich in de richting van de onderste vector). Figuurlijk gesproken "draaien" of oriënteren deze bases de ruimte in verschillende richtingen. En dit concept moet niet als iets vergezocht of abstracts worden beschouwd - de meest gewone spiegel verandert bijvoorbeeld de oriëntatie van de ruimte, en als je "het gereflecteerde object uit de spiegel trekt", dan zal het in het algemeen niet mogelijk zijn om combineer het met het "origineel". Trouwens, breng drie vingers naar de spiegel en analyseer de reflectie ;-)

... hoe goed het is dat je nu weet over rechts en links georiënteerd bases, omdat de uitspraken van sommige docenten over de verandering van oriëntatie verschrikkelijk zijn =)

Vectorproduct van collineaire vectoren

De definitie is tot in detail uitgewerkt, het blijft om uit te zoeken wat er gebeurt als de vectoren collineair zijn. Als de vectoren collineair zijn, kunnen ze op één rechte lijn worden geplaatst en ons parallellogram "vouwt" ook in één rechte lijn. Het gebied van dergelijke, zoals wiskundigen zeggen, ontaarden parallellogram is nul. Hetzelfde volgt uit de formule - de sinus van nul of 180 graden is gelijk aan nul, wat betekent dat de oppervlakte nul is

Dus, als , dan En . Houd er rekening mee dat het kruisproduct zelf gelijk is aan de nulvector, maar in de praktijk wordt dit vaak verwaarloosd en geschreven dat het ook gelijk is aan nul.

Een speciaal geval is het vectorproduct van een vector en zichzelf:

Met behulp van het kruisproduct kun je de collineariteit van driedimensionale vectoren controleren, en we zullen onder andere ook dit probleem analyseren.

Om praktijkvoorbeelden op te lossen kan het nodig zijn goniometrische tafel om de waarden van de sinussen ervan te vinden.

Nou, laten we een vuur maken:

voorbeeld 1

a) Bepaal de lengte van het vectorproduct van vectoren als

b) Zoek het gebied van een parallellogram gebouwd op vectoren als

Oplossing: Nee, dit is geen typfout, ik heb met opzet de oorspronkelijke gegevens in de staatitems hetzelfde gemaakt. Omdat het ontwerp van de oplossingen anders zal zijn!

a) Volgens de voorwaarde is het vereist om te vinden lengte vector (vectorproduct). Volgens de bijbehorende formule:

Antwoord:

Omdat er naar de lengte werd gevraagd, geven we in het antwoord de dimensie-eenheden aan.

b) Volgens de voorwaarde is het vereist om te vinden vierkant parallellogram gebouwd op vectoren. De oppervlakte van dit parallellogram is numeriek gelijk aan de lengte van het kruisproduct:

Antwoord:

Houd er rekening mee dat er in het antwoord over het vectorproduct helemaal niet wordt gesproken, er werd ons naar gevraagd figuur gebied, respectievelijk, de dimensie is vierkante eenheden.

We kijken altijd WAT er door de aandoening gevonden moet worden, en op basis daarvan formuleren we duidelijk antwoord. Het lijkt misschien op letterlijkheid, maar er zijn genoeg letterlijken onder de leraren en de taak met goede kansen zal worden geretourneerd voor herziening. Hoewel dit geen bijzonder gespannen muggenzifterij is - als het antwoord onjuist is, krijgt men de indruk dat de persoon eenvoudige dingen niet begrijpt en / of de essentie van de taak niet heeft begrepen. Dit moment moet altijd onder controle worden gehouden, om elk probleem in de hogere wiskunde en ook in andere vakken op te lossen.

Waar is de grote letter "en" gebleven? In principe zou het extra vast kunnen zitten aan de oplossing, maar om het record in te korten heb ik dat niet gedaan. Ik hoop dat iedereen dat begrijpt en de aanduiding is van hetzelfde.

Een populair voorbeeld van een doe-het-zelf-oplossing:

Voorbeeld 2

Zoek de oppervlakte van een driehoek gebouwd op vectoren als

De formule voor het vinden van de oppervlakte van een driehoek door het vectorproduct wordt gegeven in de opmerkingen bij de definitie. Oplossing en antwoord aan het einde van de les.

In de praktijk is de taak echt heel gewoon, driehoeken kunnen over het algemeen worden gemarteld.

Om andere problemen op te lossen, hebben we nodig:

Eigenschappen van het kruisproduct van vectoren

We hebben al enkele eigenschappen van het vectorproduct overwogen, maar ik zal ze in deze lijst opnemen.

Voor willekeurige vectoren en een willekeurig getal gelden de volgende eigenschappen:

1) In andere informatiebronnen wordt dit item meestal niet onderscheiden in de eigenschappen, maar het is in praktische zin erg belangrijk. Laat het maar zo.

2) - de eigenschap wordt hierboven ook besproken, soms wordt het genoemd anticommutativiteit. Met andere woorden, de volgorde van de vectoren is van belang.

3) - combinatie of associatief vectorproductwetten. De constanten worden gemakkelijk uit de limieten van het vectorproduct gehaald. Echt, wat doen ze daar?

4) - distributie of verdeling vectorproductwetten. Er zijn ook geen problemen met het openen van haakjes.

Overweeg ter demonstratie een kort voorbeeld:

Voorbeeld 3

Vind als

Oplossing: Per voorwaarde is het opnieuw vereist om de lengte van het vectorproduct te vinden. Laten we onze miniatuur schilderen:

(1) Volgens de associatieve wetten nemen we de constanten buiten de limieten van het vectorproduct.

(2) We halen de constante uit de module, terwijl de module het minteken "opeet". De lengte kan niet negatief zijn.

(3) Wat volgt is duidelijk.

Antwoord:

Het is tijd om hout op het vuur te gooien:

Voorbeeld 4

Bereken de oppervlakte van een driehoek gebouwd op vectoren als

Oplossing: Zoek de oppervlakte van een driehoek met behulp van de formule . Het probleem is dat de vectoren "ce" en "te" zelf worden weergegeven als som van vectoren. Het algoritme is hier standaard en doet enigszins denken aan voorbeelden nr. 3 en 4 van de les. Puntproduct van vectoren. Laten we het voor de duidelijkheid opsplitsen in drie stappen:

1) In de eerste stap drukken we het vectorproduct uit via het vectorproduct, in feite druk de vector uit in termen van de vector. Nog geen woord over de lengte!

(1) We vervangen expressies van vectoren .

(2) Gebruik distributieve wetten om de haakjes te openen volgens de regel van vermenigvuldiging van polynomen.

(3) Met behulp van de associatieve wetten nemen we alle constanten buiten de vectorproducten weg. Met weinig ervaring kunnen actie 2 en 3 gelijktijdig worden uitgevoerd.

(4) De eerste en laatste termen zijn gelijk aan nul (nulvector) vanwege de aangename eigenschap . In de tweede term gebruiken we de anticommutativiteitseigenschap van het vectorproduct:

(5) We presenteren vergelijkbare termen.

Als gevolg hiervan bleek de vector te worden uitgedrukt door middel van een vector, wat nodig was om te bereiken:

2) Bij de tweede stap vinden we de lengte van het vectorproduct dat we nodig hebben. Deze actie is vergelijkbaar met voorbeeld 3:

3) Zoek de oppervlakte van de gewenste driehoek:

Stappen 2-3 van de oplossing kunnen op één regel worden gerangschikt.

Antwoord:

Het beschouwde probleem komt vrij vaak voor in tests, hier is een voorbeeld voor een onafhankelijke oplossing:

Voorbeeld 5

Vind als

Korte oplossing en antwoord aan het einde van de les. Laten we eens kijken hoe attent je was bij het bestuderen van de vorige voorbeelden ;-)

Kruisproduct van vectoren in coördinaten

De formule is heel eenvoudig: we schrijven de coördinaatvectoren in de bovenste regel van de determinant, we "verpakken" de coördinaten van de vectoren in de tweede en derde regel, en we zetten in strikte volgorde- eerst de coördinaten van de vector "ve", dan de coördinaten van de vector "dubbel-ve". Als de vectoren in een andere volgorde moeten worden vermenigvuldigd, moeten de lijnen ook worden verwisseld:

Voorbeeld 10

Controleer of de volgende ruimtevectoren collineair zijn:
A)
B)

Oplossing: De test is gebaseerd op een van de uitspraken in deze les: als de vectoren collineair zijn, dan is hun kruisproduct nul (nulvector): .

a) Zoek het vectorproduct:

De vectoren zijn dus niet collineair.

b) Zoek het vectorproduct:

Antwoord: a) niet collineair, b)

Hier is misschien alle basisinformatie over het vectorproduct van vectoren.

Deze sectie zal niet erg groot zijn, aangezien er weinig problemen zijn wanneer het gemengde product van vectoren wordt gebruikt. In feite zal alles rusten op de definitie, geometrische betekenis en een paar werkende formules.

Het gemengde product van vectoren is het product van drie vectoren:

Zo staan ​​ze als een trein in de rij en wachten, ze kunnen niet wachten tot ze berekend zijn.

Eerst nog eens de definitie en foto:

Definitie: Gemengd product niet-coplanair vectoren, in deze volgorde genomen, wordt genoemd volume van het parallellepipedum, gebouwd op deze vectoren, uitgerust met een "+" teken als de basis goed is, en een "-" teken als de basis links is.

Laten we de tekening maken. Lijnen die voor ons onzichtbaar zijn, worden getekend door een stippellijn:

Laten we in de definitie duiken:

2) Vectoren genomen in een bepaalde volgorde, dat wil zeggen, de permutatie van vectoren in het product, zoals je zou kunnen raden, gaat niet zonder gevolgen.

3) Voordat ik commentaar geef op de geometrische betekenis, zal ik het voor de hand liggende feit opmerken: het gemengde product van vectoren is een GETAL: . In de onderwijsliteratuur kan het ontwerp iets anders zijn, vroeger duidde ik een gemengd product aan door, en het resultaat van berekeningen met de letter "pe".

A-priorij het gemengde product is het volume van het parallellepipedum, gebouwd op vectoren (de figuur is getekend met rode vectoren en zwarte lijnen). Dat wil zeggen, het aantal is gelijk aan het volume van het gegeven parallellepipedum.

Opmerking : De tekening is schematisch.

4) Laten we ons niet nog eens druk maken over het concept van de oriëntatie van de basis en de ruimte. De betekenis van het laatste deel is dat er een minteken aan het volume kan worden toegevoegd. Eenvoudig gezegd kan het gemengde product negatief zijn: .

De formule voor het berekenen van het volume van een parallellepipedum gebouwd op vectoren volgt rechtstreeks uit de definitie.

Voordat we het concept van een vectorproduct geven, laten we ons wenden tot de kwestie van de oriëntatie van het geordende drietal vectoren a → , b → , c → in de driedimensionale ruimte.

Laten we om te beginnen de vectoren a → , b → , c → uit één punt opzij zetten. De oriëntatie van de triple a → , b → , c → is rechts of links, afhankelijk van de richting van de vector c → . Uit de richting waarin de kortste bocht wordt gemaakt van de vector a → naar b → vanaf het einde van de vector c → wordt de vorm van de triple a → , b → , c → bepaald.

Als de kortste rotatie tegen de klok in is, wordt het drietal vectoren a → , b → , c → genoemd rechts indien met de klok mee - links.

Neem vervolgens twee niet-collineaire vectoren a → en b → . Laten we dan de vectoren A B → = a → en A C → = b → uitstellen vanaf het punt A. Laten we een vector A D → = c → construeren, die tegelijkertijd loodrecht staat op zowel A B → als A C → . Bij het construeren van de vector A D → = c → kunnen we dus twee dingen doen, de ene of de tegenovergestelde richting geven (zie afbeelding).

Het geordende trio van vectoren a → , b → , c → kan, zoals we ontdekten, rechts of links zijn, afhankelijk van de richting van de vector.

Uit het bovenstaande kunnen we de definitie van een vectorproduct introduceren. Deze definitie wordt gegeven voor twee vectoren gedefinieerd in een rechthoekig coördinatensysteem van driedimensionale ruimte.

Definitie 1

Het vectorproduct van twee vectoren a → en b → we zullen zo'n vector gegeven in een rechthoekig coördinatensysteem van driedimensionale ruimte zo noemen dat:

• als de vectoren a → en b → collineair zijn, is deze nul;
• het zal loodrecht staan ​​op zowel vector a →​​ als vector b → d.w.z. ∠ een → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• de lengte wordt bepaald door de formule: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• het drietal vectoren a → , b → , c → heeft dezelfde oriëntatie als het gegeven coördinatensysteem.

Het uitwendig product van vectoren a → en b → heeft de volgende notatie: a → × b → .

Cross product coördinaten

Aangezien elke vector bepaalde coördinaten in het coördinatensysteem heeft, is het mogelijk om een ​​tweede definitie van het vectorproduct in te voeren, waarmee u de coördinaten ervan kunt vinden op basis van de gegeven coördinaten van de vectoren.

Definitie 2

In een rechthoekig coördinatensysteem van driedimensionale ruimte vectorproduct van twee vectoren a → = (a x ; a y ; a z) en b → = (b x ; by y ; b z) noem de vector c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , waarbij i → , j → , k → coördinaatvectoren zijn.

Het vectorproduct kan worden weergegeven als een determinant van een vierkante matrix van de derde orde, waarbij de eerste rij de orta-vectoren i → , j → , k → is, de tweede rij bevat de coördinaten van de vector a → , en de derde is de coördinaten van de vector b → in een gegeven rechthoekig coördinatenstelsel ziet deze matrixdeterminant er zo uit: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Als we deze determinant uitbreiden over de elementen van de eerste rij, verkrijgen we de gelijkheid: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Cross product eigenschappen

Het is bekend dat het vectorproduct in coördinaten wordt weergegeven als de determinant van de matrix c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , dan op de basis matrixbepalende eigenschappen het volgende vectorproducteigenschappen:

1. anticommutativiteit a → × b → = - b → × a → ;
2. distributietiviteit a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → of a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associativiteit λ a → × b → = λ a → × b → of a → × (λ b →) = λ a → × b → , waarbij λ een willekeurig reëel getal is.

Deze eigenschappen hebben geen gecompliceerde bewijzen.

We kunnen bijvoorbeeld de anticommutativiteitseigenschap van een vectorproduct bewijzen.

Bewijs van anticommutativiteit

Per definitie, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z en b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . En als twee rijen van de matrix worden verwisseld, dan zou de waarde van de determinant van de matrix in het tegenovergestelde moeten veranderen, dus a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , die en bewijst de anticommutativiteit van het vectorproduct.

Vectorproduct - Voorbeelden en oplossingen

In de meeste gevallen zijn er drie soorten taken.

Bij problemen van het eerste type worden meestal de lengtes van twee vectoren en de hoek daartussen gegeven, maar je moet de lengte van het kruisproduct vinden. Gebruik in dit geval de volgende formule c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

voorbeeld 1

Bepaal de lengte van het uitwendig product van vectoren a → en b → als a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 bekend is.

Oplossing

Met behulp van de definitie van de lengte van het vectorproduct van vectoren a → en b → lossen we dit probleem op: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Antwoord: 15 2 2 .

Taken van het tweede type hebben een verband met de coördinaten van vectoren, ze bevatten een vectorproduct, de lengte ervan, enz. worden gezocht via de bekende coördinaten van de gegeven vectoren a → = (a x ; a y ; a z) En b → = (b x ; door y ; b z) .

Voor dit type taak kunt u veel opties voor taken oplossen. Bijvoorbeeld niet de coördinaten van de vectoren a → en b → , maar hun uitbreidingen in coördinaatvectoren van de vorm b → = b x i → + b y j → + b z k → en c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , of de vectoren a → en b → kunnen worden gegeven door de coördinaten van hun begin- en eindpunten.

Overweeg de volgende voorbeelden.

Voorbeeld 2

Twee vectoren worden geplaatst in een rechthoekig coördinatensysteem a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Vind hun vectorproduct.

Oplossing

Volgens de tweede definitie vinden we het vectorproduct van twee vectoren in gegeven coördinaten: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) ik → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 ik → - 2 j → - 2 k → .

Als we het vectorproduct door de matrixdeterminant schrijven, dan is de oplossing van dit voorbeeld als volgt: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ik → - 2 j → - 2 k → .

Antwoord: a → × b → = - 2 ik → - 2 j → - 2 k → .

Voorbeeld 3

Zoek de lengte van het uitwendig product van vectoren i → - j → en i → + j → + k → , waarbij i → , j → , k → - orten van een rechthoekig Cartesiaans coördinatensysteem.

Oplossing

Laten we eerst de coördinaten zoeken van het gegeven vectorproduct i → - j → × i → + j → + k → in het gegeven rechthoekige coördinatensysteem.

Het is bekend dat de vectoren i → - j → en i → + j → + k → respectievelijk coördinaten (1 ; - 1 ; 0) en (1 ; 1 ; 1) hebben. Vind de lengte van het vectorproduct met behulp van de matrixdeterminant, dan hebben we i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2k → .

Daarom heeft het vectorproduct i → - j → × i → + j → + k → coördinaten (- 1 ; - 1 ; 2) in het gegeven coördinatensysteem.

We vinden de lengte van het vectorproduct met de formule (zie het gedeelte over het vinden van de lengte van de vector): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Antwoord: ik → - j → × ik → + j → + k → = 6 . .

Voorbeeld 4

De coördinaten van drie punten A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) zijn gegeven in een rechthoekig Cartesiaans coördinatensysteem. Zoek een vector loodrecht op A B → en A C → tegelijkertijd.

Oplossing

Vectoren A B → en A C → hebben respectievelijk de volgende coördinaten (- 1 ; 2 ; 2) en (0 ; 4 ; 1). Nadat we het vectorproduct van de vectoren A B → en A C → hebben gevonden, is het duidelijk dat het per definitie een loodrechte vector is op zowel A B → als A C → , dat wil zeggen, het is de oplossing voor ons probleem. Zoek het A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Antwoord: - 6 ik → + j → - 4 k → . is een van de loodrechte vectoren.

Problemen van het derde type zijn gericht op het gebruik van de eigenschappen van het vectorproduct van vectoren. Nadat we die hebben toegepast, krijgen we een oplossing voor het gegeven probleem.

Voorbeeld 5

De vectoren a → en b → staan ​​loodrecht en hun lengte is respectievelijk 3 en 4. Bepaal de lengte van het uitwendig product 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Oplossing

Door de distributieve eigenschap van het vectorproduct kunnen we schrijven 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Door de eigenschap van associativiteit nemen we de numerieke coëfficiënten voorbij het teken van vectorproducten in de laatste uitdrukking: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

De vectorproducten a → × a → en b → × b → zijn gelijk aan 0, aangezien a → × a → = a → a → sin 0 = 0 en b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , dan 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Uit de anticommutativiteit van het vectorproduct volgt - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Met behulp van de eigenschappen van het vectorproduct verkrijgen we de gelijkheid 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Voorwaarde is dat de vectoren a → en b → loodrecht staan, dat wil zeggen, de hoek ertussen is gelijk aan π 2 . Nu blijft het alleen nog om de gevonden waarden in de overeenkomstige formules te vervangen: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → zonde (a →, b →) = 5 3 4 zonde π 2 = 60.

Antwoord: 3 een → - b → × een → - 2 b → = 60 .

De lengte van het uitwendig product van vectoren is per definitie a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Omdat het al bekend is (uit de schoolcursus) dat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan de helft van het product van de lengtes van de twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de hoek tussen deze zijden. Daarom is de lengte van het vectorproduct gelijk aan de oppervlakte van een parallellogram - een dubbele driehoek, namelijk het product van de zijden in de vorm van vectoren a → en b → , losgelaten vanaf één punt, door de sinus van de hoek ertussen sin ∠ a → , b → .

Dit is de geometrische betekenis van het vectorproduct.

De fysieke betekenis van het vectorproduct

In de mechanica, een van de takken van de natuurkunde, kun je dankzij het vectorproduct het krachtmoment bepalen ten opzichte van een punt in de ruimte.

Definitie 3

Onder het krachtmoment F → , uitgeoefend op punt B , ten opzichte van punt A zullen we het volgende vectorproduct A B → × F → begrijpen .

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Hoek tussen vectoren

Om het concept van een uitwendig product van twee vectoren te introduceren, moeten we eerst een concept als de hoek tussen deze vectoren behandelen.

Laten we twee vectoren $\overline(α)$ en $\overline(β)$ krijgen. Laten we een punt $O$ in de ruimte nemen en de vectoren $\overline(α)=\overline(OA)$ en $\overline(β)=\overline(OB)$ ervan opzij zetten, dan de hoek $AOB $ wordt de hoek tussen deze vectoren genoemd (Fig. 1).

Notatie: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Het concept van het kruisproduct van vectoren en de formule om te vinden

Definitie 1

Het vectorproduct van twee vectoren is een vector loodrecht op beide gegeven vectoren, en zijn lengte is gelijk aan het product van de lengten van deze vectoren met de sinus van de hoek tussen deze vectoren, en deze vector met twee initiële heeft dezelfde oriëntatie als het Cartesiaanse coördinatensysteem.

Notatie: $\overline(α)х\overline(β)$.

Wiskundig ziet het er zo uit:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ en $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ zijn hetzelfde georiënteerd (Fig. 2)

Het is duidelijk dat het buitenste product van vectoren in twee gevallen gelijk is aan de nulvector:

1. Als de lengte van één of beide vectoren nul is.
2. Als de hoek tussen deze vectoren gelijk is aan $180^\circ$ of $0^\circ$ (want in dit geval is de sinus gelijk aan nul).

Bekijk de volgende oplossingsvoorbeelden om duidelijk te zien hoe het kruisproduct van vectoren wordt gevonden.

voorbeeld 1

Vind de lengte van de vector $\overline(δ)$, die het resultaat zal zijn van het kruisproduct van vectoren, met coördinaten $\overline(α)=(0,4,0)$ en $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Oplossing.

Laten we deze vectoren weergeven in de cartesiaanse coördinatenruimte (Fig. 3):

Figuur 3. Vectoren in Cartesiaanse coördinatenruimte. Author24 - online uitwisseling van studentenpapieren

We zien dat deze vectoren respectievelijk op de $Ox$- en $Oy$-as liggen. Daarom is de hoek ertussen gelijk aan $90^\circ$. Laten we de lengtes van deze vectoren bepalen:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Dan krijgen we volgens Definitie 1 de module $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Antwoord: $ 12 $.

Berekening van het kruisproduct door de coördinaten van de vectoren

Definitie 1 impliceert meteen een manier om het uitwendig product van twee vectoren te vinden. Aangezien een vector naast een waarde ook een richting heeft, is het onmogelijk om deze alleen met een scalaire waarde te vinden. Maar daarnaast is er een andere manier om de vectoren te vinden die ons zijn gegeven met behulp van de coördinaten.

Laten we de vectoren $\overline(α)$ en $\overline(β)$ krijgen, die respectievelijk de coördinaten $(α_1,α_2,α_3)$ en $(β_1,β_2,β_3)$ hebben. Dan kan de vector van het kruisproduct (namelijk de coördinaten) worden gevonden met de volgende formule:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Anders verkrijgen we, door de determinant uit te breiden, de volgende coördinaten

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Voorbeeld 2

Vind de vector van het uitwendig product van collineaire vectoren $\overline(α)$ en $\overline(β)$ met coördinaten $(0,3,3)$ en $(-1,2,6)$.

Oplossing.

Laten we de bovenstaande formule gebruiken. Krijgen

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Antwoord: $(12,-3,3)$.

Eigenschappen van het kruisproduct van vectoren

Voor willekeurig gemengde drie vectoren $\overline(α)$, $\overline(β)$ en $\overline(γ)$, evenals $r∈R$, gelden de volgende eigenschappen:

Voorbeeld 3

Zoek het gebied van een parallellogram waarvan de hoekpunten de coördinaten $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ en $(3,8,0) hebben $.

Oplossing.

Teken eerst dit parallellogram in de coördinatenruimte (Fig. 5):

Figuur 5. Parallellogram in coördinatenruimte. Author24 - online uitwisseling van studentenpapieren

We zien dat de twee zijden van dit parallellogram zijn opgebouwd uit collineaire vectoren met coördinaten $\overline(α)=(3,0,0)$ en $\overline(β)=(0,8,0)$. Met behulp van de vierde eigenschap krijgen we:

$S=|\bovenlijn(α)x\bovenlijn(β)|$

Zoek de vector $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\bovenlijn(j)+24\bovenlijn(k)=(0,0,24)$

Vandaar

$S=|\bovenlijn(α)x\bovenlijn(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Definitie. Het vectorproduct van een vector a (vermenigvuldiger) met een vector (vermenigvuldiger) die er niet collineair mee is, is de derde vector c (product), die als volgt is opgebouwd:

1) zijn modulus is numeriek gelijk aan het gebied van het parallellogram in Fig. 155), gebouwd op vectoren, d.w.z. het is gelijk aan de richting loodrecht op het vlak van het genoemde parallellogram;

3) in dit geval wordt de richting van de vector c zo gekozen (uit twee mogelijke) dat de vectoren c een rechtshandig systeem vormen (§ 110).

Benaming: of

Aanvulling op de definitie. Als de vectoren collineair zijn en de figuur als een (voorwaardelijk) parallellogram beschouwen, is het natuurlijk om een ​​nulgebied toe te wijzen. Daarom wordt het vectorproduct van collineaire vectoren beschouwd als gelijk aan de nulvector.

Aangezien aan de nulvector elke richting kan worden toegewezen, is deze conventie niet in tegenspraak met items 2 en 3 van de definitie.

Opmerking 1. In de term "vectorproduct" geeft het eerste woord aan dat het resultaat van een actie een vector is (in tegenstelling tot een scalair product; vgl. § 104, opmerking 1).

Voorbeeld 1. Zoek het vectorproduct waar de hoofdvectoren van het rechter coördinatensysteem zijn (Fig. 156).

1. Aangezien de lengtes van de hoofdvectoren gelijk zijn aan de schaaleenheid, is de oppervlakte van het parallellogram (vierkant) numeriek gelijk aan één. Daarom is de modulus van het vectorproduct gelijk aan één.

2. Aangezien de loodlijn op het vlak de as is, is het gewenste vectorproduct een vector collineair met de vector k; en aangezien ze allebei modulus 1 hebben, is het vereiste kruisproduct k of -k.

3. Van deze twee mogelijke vectoren moet de eerste worden gekozen, aangezien de vectoren k een rechts systeem vormen (en de vectoren een links systeem).

Voorbeeld 2. Zoek het kruisproduct

Oplossing. Net als in voorbeeld 1 concluderen we dat de vector k of -k is. Maar nu moeten we -k kiezen, aangezien de vectoren het juiste systeem vormen (en de vectoren het linker). Dus,

Voorbeeld 3 De vectoren zijn respectievelijk 80 en 50 cm lang en vormen een hoek van 30°. Neem een ​​meter als lengte-eenheid en bepaal de lengte van het vectorproduct a

Oplossing. De oppervlakte van een parallellogram gebouwd op vectoren is gelijk aan De lengte van het gewenste vectorproduct is gelijk aan

Voorbeeld 4. Bepaal de lengte van het uitwendig product van dezelfde vectoren, waarbij je een centimeter als lengte-eenheid neemt.

Oplossing. Aangezien het gebied van het parallellogram gebouwd op vectoren gelijk is aan de lengte van het vectorproduct is 2000 cm, d.w.z.

Vergelijking van voorbeeld 3 en 4 leert dat de lengte van de vector niet alleen afhangt van de lengtes van de factoren, maar ook van de keuze van de lengte-eenheid.

De fysieke betekenis van het vectorproduct. Van de vele fysieke grootheden die worden weergegeven door het vectorproduct, zullen we alleen het moment van kracht beschouwen.

Laat A het aangrijpingspunt van de kracht zijn.Het krachtmoment ten opzichte van het punt O wordt het vectorproduct genoemd.Aangezien de module van dit vectorproduct numeriek gelijk is aan de oppervlakte van het parallellogram (Fig. 157), de module van het moment is gelijk aan het product van de basis met de hoogte, d.w.z. de kracht vermenigvuldigd met de afstand van het punt O tot de rechte lijn waarlangs de kracht werkt.

In de mechanica is bewezen dat het voor het evenwicht van een star lichaam noodzakelijk is dat niet alleen de som van de vectoren die de krachten vertegenwoordigen die op het lichaam worden uitgeoefend, maar ook de som van de krachtenmomenten gelijk is aan nul. In het geval dat alle krachten evenwijdig zijn aan hetzelfde vlak, kan de optelling van de vectoren die de momenten vertegenwoordigen worden vervangen door de optelling en aftrekking van hun moduli. Maar voor willekeurige richtingen van krachten is zo'n vervanging onmogelijk. In overeenstemming hiermee wordt het uitwendig product precies gedefinieerd als een vector en niet als een getal.