1°. టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క సమీకరణాలు మరియు ఉపరితలం యొక్క స్పష్టమైన నిర్వచనం విషయంలో సాధారణం.

రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాల యొక్క రేఖాగణిత అనువర్తనాల్లో ఒకదానిని పరిశీలిద్దాం. ఫంక్షన్ లెట్ z = f (x ;y)పాయింట్ వద్ద భేదం (x 0; y 0)కొంత ప్రాంతం డిÎ R 2. ఉపరితలం కట్ చేద్దాం S,ఫంక్షన్‌ను సూచిస్తుంది z,విమానాలు x = x 0మరియు y = y 0(Fig. 11).

విమానం X = x 0ఉపరితలాన్ని కలుస్తుంది ఎస్కొన్ని లైన్ వెంట z 0 (y),అసలు ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా సమీకరణం పొందబడుతుంది z ==f (x ;y)బదులుగా Xసంఖ్యలు x 0చుక్క M 0 (x 0 ;y 0,f (x 0 ;y 0))వక్రరేఖకు చెందినది z 0 (y).భిన్నమైన ఫంక్షన్ కారణంగా zపాయింట్ వద్ద M 0ఫంక్షన్ z 0 (y)పాయింట్ వద్ద కూడా తేడా ఉంటుంది y = y 0.అందువలన, విమానంలో ఈ సమయంలో x = x 0వక్రరేఖకు z 0 (y)ఒక టాంజెంట్ గీయవచ్చు l 1.

సెక్షన్ కోసం ఇలాంటి రీజనింగ్‌ని అమలు చేయడం వద్ద = y 0,ఒక టాంజెంట్‌ని నిర్మిస్తాము l 2వక్రరేఖకు z 0 (x)పాయింట్ వద్ద X = x 0 -డైరెక్ట్ 1 1 మరియు 1 2 అనే విమానాన్ని నిర్వచించండి టాంజెంట్ విమానంఉపరితలం వరకు ఎస్పాయింట్ వద్ద M 0.

దాని సమీకరణాన్ని క్రియేట్ చేద్దాం. విమానం పాయింట్ గుండా వెళుతుంది కాబట్టి మో(x 0 ;y 0 ;z 0),అప్పుడు దాని సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(సమీకరణాన్ని -C ద్వారా విభజించడం మరియు సూచిస్తుంది ).

మేము కనుగొంటాము A 1మరియు బి 1.

టాంజెంట్ సమీకరణాలు 1 1 మరియు 1 2 వంటి చూడండి

వరుసగా.

టాంజెంట్ l 1విమానంలో ఉంది a , కాబట్టి, అన్ని పాయింట్ల అక్షాంశాలు l 1సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచు (1). ఈ వాస్తవాన్ని వ్యవస్థ రూపంలో వ్రాయవచ్చు

B 1కి సంబంధించి ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తే, మేము టాంజెంట్‌కి సారూప్యమైన తార్కికాన్ని నిర్వహిస్తాము l 3, దానిని స్థాపించడం సులభం.

విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం A 1మరియు B 1 సమీకరణం (1), మేము కోరుకున్న టాంజెంట్ ప్లేన్ సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

లైన్ ఒక పాయింట్ గుండా వెళుతుంది M 0మరియు ఉపరితలంపై ఈ బిందువు వద్ద నిర్మించిన టాంజెంట్ ప్లేన్‌కు లంబంగా దాని అంటారు సాధారణ.

రేఖ మరియు విమానం లంబంగా ఉండే స్థితిని ఉపయోగించి, నియమానుగుణ సాధారణ సమీకరణాలను పొందడం సులభం:

వ్యాఖ్య.టాంజెంట్ ప్లేన్ కోసం సూత్రాలు మరియు ఉపరితలానికి సాధారణమైనవి సాధారణమైనవి, అంటే ప్రత్యేకం కాని, ఉపరితలం యొక్క పాయింట్ల కోసం పొందబడతాయి. చుక్క M 0ఉపరితలం అంటారు ప్రత్యేక,ఈ సమయంలో అన్ని పాక్షిక ఉత్పన్నాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటే లేదా వాటిలో కనీసం ఒకటి ఉనికిలో లేదు. మేము అలాంటి అంశాలను పరిగణించము.

ఉదాహరణ. టాంజెంట్ ప్లేన్ మరియు దాని పాయింట్ వద్ద ఉపరితలంపై సాధారణ సమీకరణాలను వ్రాయండి M(2; -1; 1).

పరిష్కారం. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను మరియు పాయింట్ M వద్ద వాటి విలువలను కనుగొనండి

ఇక్కడ నుండి, సూత్రాలు (2) మరియు (3) వర్తింపజేయడం ద్వారా, మేము వీటిని కలిగి ఉంటాము: z-1=2(x-2)+2(y+1)లేదా 2х+2у-z-1=0- టాంజెంట్ ప్లేన్ సమీకరణం మరియు - సాధారణ సమీకరణాలు.

2°. టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క సమీకరణాలు మరియు ఉపరితలం యొక్క అవ్యక్త నిర్వచనం విషయంలో సాధారణం.

ఉపరితలం ఉంటే ఎస్సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడింది F (x ; y;z)= 0, ఆపై సమీకరణాలు (2) మరియు (3), పాక్షిక ఉత్పన్నాలు ఒక అవ్యక్త ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాలుగా గుర్తించబడతాయనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాయి.

నిర్వచనం 1 : ఇచ్చిన పాయింట్ P (x 0, y 0, z 0) వద్ద ఉపరితలానికి టాంజెంట్ ప్లేన్ అనేది పాయింట్ P గుండా వెళుతుంది మరియు పాయింట్ P ద్వారా ఈ ఉపరితలంపై సాధ్యమయ్యే అన్ని వక్రతలకు పాయింట్ P వద్ద నిర్మించబడిన అన్ని టాంజెంట్‌లను కలిగి ఉంటుంది.

ఉపరితల s సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడనివ్వండి ఎఫ్ (X, వద్ద, z) = 0 మరియు పాయింట్ పి (x 0 , వై 0 , z 0) ఈ ఉపరితలానికి చెందినది. ఉపరితలంపై కొంత వక్రతను ఎంచుకుందాం ఎల్, పాయింట్ గుండా వెళుతుంది ఆర్.

వీలు X = X(t), వద్ద = వద్ద(t), z = z(t) - లైన్ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు ఎల్.

1) ఫంక్షన్ అని అనుకుందాం ఎఫ్(X, వద్ద, z) పాయింట్ వద్ద తేడా ఉంటుంది ఆర్మరియు ఈ సమయంలో దాని అన్ని పాక్షిక ఉత్పన్నాలు సున్నాకి సమానంగా ఉండవు; 2) విధులు X(t), వద్ద(t), z(t) కూడా విభిన్నంగా ఉంటాయి.

వక్రరేఖ ఉపరితల sకి చెందినది కాబట్టి, ఈ వక్రరేఖపై ఏదైనా బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు, ఉపరితలం యొక్క సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయబడి, దానిని ఒక గుర్తింపుగా మారుస్తాయి. అందువలన, ఒకే సమానత్వం నిజం: ఎఫ్ [x(t), వద్ద(t), z (t)]= 0.

వేరియబుల్‌కు సంబంధించి ఈ గుర్తింపును వేరు చేయడం t, గొలుసు నియమాన్ని ఉపయోగించి, మేము కొత్త ఒకే సమానత్వాన్ని పొందుతాము, పాయింట్‌తో సహా వక్రరేఖ యొక్క అన్ని పాయింట్ల వద్ద చెల్లుబాటు అవుతుంది పి (x 0 , వై 0 , z 0):

పాయింట్ P పరామితి విలువకు అనుగుణంగా ఉండనివ్వండి t 0, అంటే x 0 = x (t 0), వై 0 = వై (t 0), z 0 = z (t 0) అప్పుడు పాయింట్ వద్ద లెక్కించిన చివరి సంబంధం ఆర్, రూపం తీసుకుంటుంది

ఈ సూత్రం రెండు వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి. మొదటిది స్థిరమైన వెక్టర్

ఉపరితలంపై వక్రత ఎంపిక నుండి స్వతంత్రంగా ఉంటుంది.

రెండవ వెక్టర్ పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ ఆర్రేఖకు ఎల్, అంటే ఇది ఉపరితలంపై ఉన్న లైన్ ఎంపికపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అంటే ఇది వేరియబుల్ వెక్టర్.

ప్రవేశపెట్టిన సంజ్ఞామానాలతో సమానత్వం:

ఎలా తిరిగి రాద్దాం.

దీని అర్థం ఇది: స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం, కాబట్టి, వెక్టర్స్ లంబంగా ఉంటాయి. ఒక పాయింట్ గుండా వెళ్ళే అన్ని వక్రతలను ఎంచుకోవడం ఆర్ఉపరితలంపై, మేము పాయింట్ వద్ద నిర్మించబడిన విభిన్న టాంజెంట్ వెక్టర్‌లను కలిగి ఉంటాము ఆర్ఈ పంక్తులకు; వెక్టర్ ఈ ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదు మరియు వాటిలో దేనికైనా లంబంగా ఉంటుంది, అనగా, అన్ని టాంజెంట్ వెక్టర్స్ ఒకే విమానంలో ఉంటాయి, ఇది నిర్వచనం ప్రకారం, ఉపరితలం sకి టాంజెంట్ మరియు పాయింట్ ఆర్ఈ సందర్భంలో దీనిని టాంజెంట్ పాయింట్ అంటారు. వెక్టర్ అనేది ఉపరితలానికి సాధారణ దిశ వెక్టర్.

నిర్వచనం 2: పాయింట్ P వద్ద ఉపరితల sకి సాధారణం అనేది పాయింట్ P గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ మరియు ఈ సమయంలో నిర్మించిన టాంజెంట్ ప్లేన్‌కు లంబంగా ఉంటుంది.

మేము ఒక టాంజెంట్ ప్లేన్ ఉనికిని నిరూపించాము మరియు తత్ఫలితంగా, ఉపరితలంపై సాధారణమైనది. వారి సమీకరణాలను వ్రాసుకుందాం:

పాయింట్ P (x0, y0, z0) వద్ద నిర్మించబడిన టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క సమీకరణం F(x, y, z) = 0 సమీకరణం ద్వారా అందించబడిన ఉపరితల sకి;

ఒక బిందువు వద్ద నిర్మించిన సాధారణ సమీకరణం ఆర్ఉపరితలానికి s.

ఉదాహరణ:పారాబొలా యొక్క భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితల సమీకరణాన్ని కనుగొనండి:

z 2 = 2p (వై +2)

y అక్షం చుట్టూ, పాయింట్ అందించిన లెక్కించండి M(3, 1, - 3)ఉపరితలానికి చెందినది. పాయింట్ M వద్ద ఉపరితలంపై సాధారణ మరియు టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క సమీకరణాలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.భ్రమణ ఉపరితలం రాయడానికి నియమాన్ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:

z 2 + x 2 = 2p (వై +2) .

పాయింట్ M యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఈ సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా, మేము పరామితి p విలువను లెక్కిస్తాము: 9 + 9 = 2р(1 + 2) . పాయింట్ గుండా వెళుతున్న విప్లవం యొక్క ఉపరితలం యొక్క తుది వీక్షణను మేము రికార్డ్ చేస్తాము M:

z 2 + x 2 = 6(y +2).

ఇప్పుడు మనం సూత్రాలను ఉపయోగించి సాధారణ మరియు టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క సమీకరణాలను కనుగొంటాము, దీని కోసం మేము మొదట ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను లెక్కిస్తాము:

F(x, y) = z 2 + x 2- 6 (వై +2):

అప్పుడు టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 లేదా x - y - z - 5 = 0;

సాధారణ సమతల సమీకరణం

1.

4.

టాంజెంట్ ప్లేన్ మరియు ఉపరితలం సాధారణం

కొంత ఉపరితలం ఇవ్వబడనివ్వండి, A అనేది ఉపరితలం యొక్క స్థిర బిందువు మరియు B అనేది ఉపరితలం యొక్క వేరియబుల్ పాయింట్,

నాన్ జీరో వెక్టర్

ఉపరితల బిందువు F (x, y, z) = 0 ఈ పాయింట్‌లో ఉంటే సాధారణం అంటారు

1. పాక్షిక ఉత్పన్నాలు F "x , F " y , F " z నిరంతరంగా ఉంటాయి;
2. (F "x )2 + (F" y )2 + (F" z )2 ≠ 0 .

ఈ పరిస్థితుల్లో కనీసం ఒకదానిని ఉల్లంఘించినట్లయితే, ఉపరితల పాయింట్ అంటారు ఉపరితలం యొక్క ప్రత్యేక స్థానం .

సిద్ధాంతం 1.ఒకవేళ M(x 0, y 0, z 0) అనేది ఉపరితల F (x, y, z) = 0 యొక్క సాధారణ బిందువు, తర్వాత వెక్టర్

పాయింట్ M (x 0, y 0, z 0) వద్ద ఈ ఉపరితలానికి సాధారణం.

రుజువు I.M ద్వారా పుస్తకంలో ఇవ్వబడింది. పెట్రుష్కో, L.A. కుజ్నెత్సోవా, V.I. ప్రోఖోరెంకో, V.F. సఫోనోవా ``అత్యున్నత గణితం యొక్క కోర్సు: సమగ్ర కాలిక్యులస్. అనేక వేరియబుల్స్ యొక్క విధులు. అవకలన సమీకరణాలు. M.: పబ్లిషింగ్ హౌస్ MPEI, 2002 (p. 128).

ఉపరితలం వరకు సాధారణంఏదో ఒక సమయంలో ఒక సరళ రేఖ ఉంటుంది, దీని దిశ వెక్టర్ ఈ పాయింట్‌లో ఉపరితలంపై సాధారణం మరియు ఈ పాయింట్ గుండా వెళుతుంది.

కానానికల్ సాధారణ సమీకరణాలురూపంలో సూచించవచ్చు

టాంజెంట్ విమానంఒక నిర్దిష్ట బిందువు వద్ద ఉపరితలానికి ఈ పాయింట్‌లో సాధారణం నుండి ఉపరితలం వరకు లంబంగా ఈ పాయింట్ గుండా వెళుతుంది.

ఈ నిర్వచనం నుండి అది అనుసరిస్తుంది టాంజెంట్ ప్లేన్ సమీకరణంరూపం ఉంది:

ఉపరితలంపై ఒక బిందువు ఏకవచనం అయితే, ఆ సమయంలో వెక్టార్ సాధారణ ఉపరితలం ఉనికిలో ఉండకపోవచ్చు మరియు అందువలన, ఉపరితలం సాధారణ మరియు టాంజెంట్ ప్లేన్‌ను కలిగి ఉండకపోవచ్చు.

రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క మొత్తం భేదం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

ఫంక్షన్ z = f (x, y) పాయింట్ a (x 0, y 0) వద్ద భేదం ఉండనివ్వండి. దీని గ్రాఫ్ ఉపరితలం

f (x, y) - z = 0.

z 0 = f (x 0 , y 0 ) పెడతాము. అప్పుడు పాయింట్ A (x 0 , y 0 , z 0 ) ఉపరితలానికి చెందినది.

F (x, y, z) = f (x, y) - z ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలు

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = - 1

మరియు పాయింట్ A వద్ద (x 0 , y 0 , z 0 )

1. అవి నిరంతరం ఉంటాయి;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

కాబట్టి, A అనేది ఉపరితల F (x, y, z) యొక్క సాధారణ బిందువు మరియు ఈ సమయంలో ఉపరితలంపై టాంజెంట్ ప్లేన్ ఉంటుంది. (3) ప్రకారం, టాంజెంట్ ప్లేన్ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f "y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

పాయింట్ a (x 0 , y 0 ) నుండి ఏకపక్ష బిందువు p (x , y)కి వెళ్లేటప్పుడు టాంజెంట్ ప్లేన్‌పై ఒక బిందువు యొక్క నిలువు స్థానభ్రంశం B Q (Fig. 2). దరఖాస్తుదారుల సంబంధిత పెంపు

(z - z 0 ) = f "x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 )

ఇక్కడ కుడి వైపున అవకలన ఉంది డి z ఫంక్షన్ z = f (x, y) పాయింట్ a (x 0, x 0) వద్ద. అందుకే,
డి f (x 0 , y 0 ). పాయింట్ (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) ఫంక్షన్ f (x, y) యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ప్లేన్ పాయింట్ యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్.

భేదం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌పై పాయింట్ P మరియు టాంజెంట్ ప్లేన్‌పై పాయింట్ Q మధ్య దూరం పాయింట్ p నుండి పాయింట్ a వరకు ఉన్న దూరం కంటే ఎక్కువ ఆర్డర్ యొక్క అనంతమైనది.

రూపం యొక్క సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన ఉపరితలాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి

కింది నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 1. ఒక సరళ రేఖ ఏదైనా ఉంటే అది ఉపరితలంపై టాంజెంట్ అంటారు

ఉపరితలంపై ఉన్న మరియు పాయింట్ గుండా వెళుతున్న ఏదైనా వక్రరేఖకు టాంజెంట్.

ఉపరితలంపై ఉన్న అనంతమైన వివిధ వక్రతలు P పాయింట్ గుండా వెళతాయి కాబట్టి, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఈ బిందువు గుండా వెళుతున్న ఉపరితలంపై అనంతమైన టాంజెంట్‌లు ఉంటాయి.

ఉపరితలం యొక్క ఏకవచనం మరియు సాధారణ పాయింట్ల భావనను పరిచయం చేద్దాం

ఒక పాయింట్ వద్ద మూడు ఉత్పన్నాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటే లేదా ఈ ఉత్పన్నాలలో కనీసం ఒకటి కూడా లేనట్లయితే, అప్పుడు M పాయింట్‌ను ఉపరితలం యొక్క ఏక బిందువు అంటారు. ఒక పాయింట్ వద్ద మూడు ఉత్పన్నాలు ఉనికిలో ఉండి, నిరంతరంగా ఉండి, వాటిలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు M బిందువును ఉపరితలం యొక్క సాధారణ బిందువు అంటారు.

ఇప్పుడు మనం ఈ క్రింది సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించవచ్చు.

సిద్ధాంతం. ఇచ్చిన ఉపరితలం (1)కి దాని సాధారణ పాయింట్ P వద్ద ఉన్న అన్ని టాంజెంట్ లైన్‌లు ఒకే సమతలంలో ఉంటాయి.

రుజువు. ఉపరితలంపై ఒక నిర్దిష్ట లైన్ L ను పరిశీలిద్దాం (Fig. 206) ఉపరితలం యొక్క ఇచ్చిన పాయింట్ P గుండా వెళుతుంది. పరిశీలనలో ఉన్న వక్రరేఖను పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వనివ్వండి

వక్రరేఖకు టాంజెంట్ ఉపరితలంపై టాంజెంట్ అవుతుంది. ఈ టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాలు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి

వ్యక్తీకరణలు (2) సమీకరణం (1)కి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటే, ఈ సమీకరణం tకి సంబంధించి గుర్తింపుగా మారుతుంది, ఎందుకంటే వక్రరేఖ (2) ఉపరితలంపై (1) ఉంటుంది. మేము పొందడం ద్వారా దానిని వేరు చేయడం

ఈ వెక్టర్ యొక్క అంచనాలు ఆధారపడి ఉంటాయి - పాయింట్ P యొక్క అక్షాంశాలు; పాయింట్ P సాధారణమైనందున, పాయింట్ P వద్ద ఉన్న ఈ అంచనాలు ఏకకాలంలో అదృశ్యం కావు మరియు అందువల్ల

పాయింట్ P గుండా వెళుతున్న మరియు ఉపరితలంపై ఉన్న వక్రరేఖకు టాంజెంట్. ఈ వెక్టార్ యొక్క అంచనాలు పాయింట్ Pకి సంబంధించిన t పరామితి విలువ వద్ద సమీకరణాల (2) ఆధారంగా లెక్కించబడతాయి.

వెక్టర్స్ N యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తిని గణిద్దాం మరియు అదే పేరుతో ఉన్న ప్రొజెక్షన్ల ఉత్పత్తుల మొత్తానికి సమానం:

సమానత్వం (3) ఆధారంగా, కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ సున్నాకి సమానం, కాబట్టి,

చివరి సమానత్వం నుండి వెక్టర్ LG మరియు పాయింట్ P వద్ద వక్రరేఖకు (2) టాంజెంట్ వెక్టార్ లంబంగా ఉంటాయి. పాయింట్ P గుండా వెళుతున్న మరియు ఉపరితలంపై ఉన్న ఏదైనా వక్రత (2)కి పై తార్కికం చెల్లుతుంది. పర్యవసానంగా, పాయింట్ P వద్ద ఉపరితలంపై ఉన్న ప్రతి టాంజెంట్ అదే వెక్టర్ Nకి లంబంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ఈ టాంజెంట్లన్నీ వెక్టర్ LGకి లంబంగా ఒకే సమతలంలో ఉంటాయి. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

నిర్వచనం 2. దాని ఇచ్చిన పాయింట్ P గుండా ఉపరితలంపై ఉన్న పంక్తులకు అన్ని టాంజెంట్ లైన్లు ఉన్న విమానం P పాయింట్ వద్ద ఉపరితలానికి టాంజెంట్ ప్లేన్ అంటారు (Fig. 207).

ఉపరితలం యొక్క ఏక బిందువుల వద్ద టాంజెంట్ ప్లేన్ ఉండకపోవచ్చని గమనించండి. అటువంటి పాయింట్ల వద్ద, ఉపరితలంపై టాంజెంట్ లైన్లు ఒకే విమానంలో ఉండకపోవచ్చు. ఉదాహరణకు, శంఖాకార ఉపరితలం యొక్క శీర్షం ఏకవచన బిందువు.

ఈ సమయంలో శంఖాకార ఉపరితలంపై ఉన్న స్పర్శరేఖలు ఒకే సమతలంలో ఉండవు (అవి స్వయంగా ఒక శంఖాకార ఉపరితలాన్ని ఏర్పరుస్తాయి).

ఒక సాధారణ బిందువు వద్ద ఉపరితలం (1)కి టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాద్దాం. ఈ విమానం వెక్టర్ (4)కి లంబంగా ఉన్నందున, దాని సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

ఉపరితలం యొక్క సమీకరణం రూపంలో ఇచ్చినట్లయితే లేదా ఈ సందర్భంలో టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

వ్యాఖ్య. మేము ఫార్ములా (6) లో ఉంచినట్లయితే, ఈ ఫార్ములా రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

దాని కుడి వైపు ఫంక్షన్ యొక్క పూర్తి అవకలన. అందుకే, . ఈ విధంగా, స్వతంత్ర వేరియబుల్స్ x మరియు y యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌లకు అనుగుణంగా ఒక పాయింట్ వద్ద రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క మొత్తం భేదం ఉపరితలంపై టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క సంబంధిత ఇంక్రిమెంట్‌కు సమానం, ఇది ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్.

నిర్వచనం 3. టాంజెంట్ ప్లేన్‌కు లంబంగా ఉపరితలంపై (1) బిందువు ద్వారా గీసిన సరళ రేఖను ఉపరితలంపై సాధారణ (Fig. 207) అంటారు.

సాధారణ సమీకరణాలను రాద్దాం. దాని దిశ వెక్టర్ N యొక్క దిశతో సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, దాని సమీకరణాలు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి

అనేక వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అనువర్తనాలను పరిశీలిద్దాం. రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్‌ను పరోక్షంగా పేర్కొననివ్వండి: . దాని నిర్వచన డొమైన్‌లోని ఈ ఫంక్షన్ నిర్దిష్ట ఉపరితలం ద్వారా సూచించబడుతుంది (విభాగం 5.1). ఈ ఉపరితలంపై ఏకపక్ష పాయింట్‌ని తీసుకుందాం , దీనిలో మూడు పాక్షిక ఉత్పన్నాలు , , ఉనికిలో ఉన్నాయి మరియు అవి నిరంతరంగా ఉంటాయి మరియు వాటిలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానం కాదు.

అటువంటి లక్షణాలతో కూడిన పాయింట్ అంటారు సాధారణ ఉపరితల పాయింట్. పైన పేర్కొన్న అవసరాలలో కనీసం ఒకదానిని నెరవేర్చకపోతే, అప్పుడు పాయింట్ అంటారు ప్రత్యేక ఉపరితల పాయింట్.

ఉపరితలంపై ఎంచుకున్న పాయింట్ ద్వారా, అనేక వక్రతలు గీయవచ్చు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి టాంజెంట్ కలిగి ఉంటుంది.

నిర్వచనం 5.8.1 . ఒక నిర్దిష్ట బిందువు గుండా వెళుతున్న ఉపరితలంపై ఉన్న రేఖలకు అన్ని టాంజెంట్ లైన్‌లు ఉన్న ప్లేన్‌ను పాయింట్ వద్ద ఈ ఉపరితలంపై టాంజెంట్ ప్లేన్ అంటారు. .

ఇచ్చిన విమానం గీయడానికి, రెండు టాంజెంట్ లైన్లను కలిగి ఉంటే సరిపోతుంది, అంటే ఉపరితలంపై రెండు వక్రతలు. ఇవి ఇవ్వబడిన ఉపరితలాన్ని విమానాలతో కత్తిరించడం వల్ల పొందిన వక్రతలు కావచ్చు , (Fig. 5.8.1).

ఉపరితలం మరియు విమానం యొక్క ఖండన వద్ద ఉన్న వక్రరేఖకు టాంజెంట్ లైన్ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాద్దాం. ఈ వక్రరేఖ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఉన్నందున, పేరా 2.7 ప్రకారం పాయింట్ వద్ద దానికి టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

. (5.8.1)

దీని ప్రకారం, ఉపరితలం యొక్క ఖండన వద్ద ఉన్న వక్రరేఖకు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణం మరియు అదే పాయింట్ వద్ద కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని విమానం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

. (5.8.2)

పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం వ్యక్తీకరణను ఉపయోగిస్తాము (విభాగం 5.7). అప్పుడు, ఇహ్. ఈ ఉత్పన్నాలను (5.8.1) మరియు (5.8.2)కి ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మేము వరుసగా పొందుతాము:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

ఫలిత వ్యక్తీకరణలు కానానికల్ రూపంలో (సెక్షన్ 15) పంక్తుల సమీకరణాల కంటే మరేమీ కావు కాబట్టి (5.8.3) నుండి మనం దిశ వెక్టార్‌ని పొందుతాము , మరియు (5.8.4) నుండి – . క్రాస్ ప్రొడక్ట్ ఇచ్చిన టాంజెంట్ లైన్‌లకు వెక్టర్ నార్మల్‌ని ఇస్తుంది, అందువలన టాంజెంట్ ప్లేన్‌కి:

ఇది పాయింట్ వద్ద ఉపరితలంపై టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క సమీకరణాన్ని అనుసరిస్తుంది ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంది (అంశం 14):

నిర్వచనం 5.8.2 . ఒక బిందువు ద్వారా గీసిన సరళ రేఖ ఈ బిందువు వద్ద టాంజెంట్ ప్లేన్‌కు లంబంగా ఉండే ఉపరితలాన్ని సాధారణ ఉపరితలం అంటారు.

ఉపరితలం నుండి సాధారణం యొక్క దిశ వెక్టర్ సాధారణ నుండి టాంజెంట్ ప్లేన్‌తో సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, సాధారణ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

.

స్కేలార్ ఫీల్డ్

ఈ స్థలంలో కొంత భాగాన్ని లేదా అంతటిని ఆక్రమించి, స్పేస్‌లో ఒక ప్రాంతాన్ని పేర్కొననివ్వండి. ఈ ప్రాంతం యొక్క ప్రతి పాయింట్, కొన్ని చట్టం ప్రకారం, నిర్దిష్ట స్కేలార్ పరిమాణంతో (సంఖ్య) అనుబంధించబడనివ్వండి.

నిర్వచనం 5.9.1 . ఒక నిర్దిష్ట స్కేలార్ పరిమాణంతో, ఒక ప్రసిద్ధ చట్టం ప్రకారం, ప్రతి బిందువు అనుబంధించబడిన అంతరిక్షంలో ఒక ప్రాంతం, స్కేలార్ ఫీల్డ్ అంటారు..

ఒక రకమైన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ప్రాంతంతో అనుబంధించబడి ఉంటే, ఉదాహరణకు, దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ వ్యవస్థ, అప్పుడు ప్రతి పాయింట్ దాని స్వంత కోఆర్డినేట్‌లను పొందుతుంది. ఈ సందర్భంలో, స్కేలార్ పరిమాణం కోఆర్డినేట్‌ల విధిగా మారుతుంది: విమానంలో – , త్రిమితీయ స్థలంలో – . ఈ ఫీల్డ్‌ను వివరించే ఫంక్షన్‌ను తరచుగా స్కేలార్ ఫీల్డ్ అంటారు. స్థలం యొక్క పరిమాణంపై ఆధారపడి, స్కేలార్ ఫీల్డ్ ఫ్లాట్, త్రిమితీయ, మొదలైనవి కావచ్చు.

స్కేలార్ ఫీల్డ్ యొక్క పరిమాణం ప్రాంతంలోని పాయింట్ యొక్క స్థానంపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుందని నొక్కి చెప్పాలి, కానీ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఎంపికపై ఆధారపడదు.

నిర్వచనం 5.9.2 . స్కేలార్ ఫీల్డ్ ప్రాంతంలోని ఒక బిందువు యొక్క స్థానంపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది, కానీ సమయంపై ఆధారపడదు, దీనిని నిశ్చలంగా పిలుస్తారు.

నాన్‌స్టేషనరీ స్కేలార్ ఫీల్డ్‌లు, అంటే సమయం-ఆధారితమైనవి, ఈ విభాగంలో పరిగణించబడవు.

స్కేలార్ ఫీల్డ్‌లకు ఉదాహరణలు ఉష్ణోగ్రత క్షేత్రం, వాతావరణంలోని పీడన క్షేత్రం మరియు సముద్ర మట్టానికి ఎత్తు క్షేత్రం.

రేఖాగణితంగా, స్కేలార్ ఫీల్డ్‌లు తరచుగా పంక్తులు లేదా లెవెల్ ఉపరితలాలు అని పిలవబడే ఉపయోగించి సూచించబడతాయి.

నిర్వచనం 5.9.3 . స్కేలార్ ఫీల్డ్ ఉన్న స్పేస్‌లోని అన్ని పాయింట్ల సెట్ అదే అర్థాన్ని కలిగి ఉన్న దానిని లెవెల్ ఉపరితలం లేదా ఈక్విపోటెన్షియల్ ఉపరితలం అంటారు. స్కేలార్ ఫీల్డ్ కోసం ఫ్లాట్ కేస్‌లో, ఈ సెట్‌ను లెవెల్ లైన్ లేదా ఈక్విపోటెన్షియల్ లైన్ అంటారు.

సహజంగానే, స్థాయి ఉపరితల సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది , స్థాయి పంక్తులు - . ఈ సమీకరణాలలో స్థిరమైన విభిన్న విలువలను ఇవ్వడం ద్వారా, మేము ఉపరితలాలు లేదా స్థాయి రేఖల కుటుంబాన్ని పొందుతాము. ఉదాహరణకి, (వివిధ రేడియాలతో ఒకదానికొకటి గూడు కట్టుకున్న గోళాలు) లేదా (దీర్ఘవృత్తాల కుటుంబం).

భౌతిక శాస్త్రం నుండి స్థాయి రేఖల ఉదాహరణలు ఐసోథర్మ్‌లు (సమాన ఉష్ణోగ్రతల రేఖలు), ఐసోబార్లు (సమాన పీడన రేఖలు); జియోడెసీ నుండి - సమాన ఎత్తుల పంక్తులు మొదలైనవి.