1°. Az érintősík és a normál egyenlete a felület explicit meghatározása esetén.

Tekintsük két változó függvényének parciális deriváltjainak egyik geometriai alkalmazását. Legyen a függvény z = f (x ;y) ponton differenciálható (x 0; y 0) valamilyen területet DÎ R 2. Vágjuk le a felületet S, a funkciót reprezentálja z, repülőgépek x = x 0És y = y 0(11. ábra).

Repülőgép x = x 0 metszi a felületet S valamilyen vonal mentén z 0 (y ), melynek egyenletét az eredeti függvény kifejezésébe behelyettesítve kapjuk z ==f (x ;y) ahelyett x számok x 0. Pont M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0)) görbéhez tartozik z 0 (y). A differenciálható funkció miatt z azon a ponton M 0 funkció z 0 (y) ponton is differenciálható y =y 0. Ezért ezen a ponton a síkban x = x 0 a görbére z 0 (y)érintőt lehet húzni l 1.

Hasonló érvelés végrehajtása a szakaszra vonatkozóan nál nél = y 0,építsünk érintőt l 2 a görbére z 0 (x) azon a ponton x = x 0 - Közvetlen 1 1 És 1 2 nevű síkot határozzuk meg érintő sík a felszínre S azon a ponton M 0.

Készítsük el az egyenletét. Mivel a sík áthalad a ponton Mo(x 0;y 0;z 0), akkor az egyenlete úgy írható fel

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

ami így átírható:

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(az egyenletet -C-vel osztva és jelölve ).

meg fogjuk találni A 1és B 1.

Érintőegyenletek 1 1 És 1 2 hasonló

illetőleg.

Tangens l 1 a síkban fekszik , ezért az összes pont koordinátái l 1 kielégíti az (1) egyenletet. Ez a tény leírható egy rendszer formájában

Ha ezt a rendszert B 1-re vonatkoztatjuk, akkor hasonló érvelést hajtunk végre az érintővel kapcsolatban l 3, könnyű megállapítani, hogy .

Az értékek helyettesítése A 1és B 1-et az (1) egyenletbe, megkapjuk a szükséges érintősík egyenletet:

Ponton átmenő egyenes M 0és a felület ezen pontjában megszerkesztett érintősíkra merőlegesen annak nevezzük Normál.

Az egyenes és a sík merőlegességének feltételével könnyen előállíthatók a kanonikus normálegyenletek:

Megjegyzés. Az érintősík és a felület normális képleteit a felület közönséges, azaz nem speciális pontjaira kapjuk. Pont M 0 felületnek nevezzük különleges, ha ezen a ponton minden parciális derivált nulla vagy legalább az egyik nem létezik. Nem vesszük figyelembe az ilyen szempontokat.

Példa. Írjon fel egyenleteket az érintősíkra és a felület normális pontjára! M(2; -1; 1).

Megoldás. Keressük meg ennek a függvénynek a parciális deriváltjait és azok értékét az M pontban

Innentől kezdve a (2) és (3) képlet alkalmazásával a következőket kapjuk: z-1=2(x-2)+2(y+1) vagy 2х+2у-z-1=0- érintősík egyenlet és - normál egyenletek.

2°. Az érintősík és a normál egyenlete a felület implicit meghatározása esetén.

Ha a felület S egyenlettel adott F (x ; y;z)= 0, akkor a (2) és (3) egyenlet, figyelembe véve, hogy a parciális deriváltok egy implicit függvény deriváltjaként is megtalálhatók.

1. definíció : A felület érintősíkja egy adott P pontban (x 0, y 0, z 0) a P ponton áthaladó sík, amely tartalmazza a P pontban megszerkesztett összes érintőt ezen a felületen a P ponton áthaladó összes lehetséges görbére.

Adja meg az s felületet az egyenlet F (x, nál nél, z) = 0 és pont P (x 0 , y 0 , z 0) ehhez a felülethez tartozik. Válasszunk ki egy görbét a felületen L, áthaladva a ponton R.

Hadd x = x(t), nál nél = nál nél(t), z = z(t) - az egyenes paraméteres egyenletei L.

Tegyük fel, hogy: 1) függvény F(x, nál nél, z) ponton differenciálható Rés ezen a ponton nem minden parciális deriváltja egyenlő nullával; 2) függvények x(t), nál nél(t), z(t) is megkülönböztethetők.

Mivel a görbe az s felülethez tartozik, a görbe bármely pontjának koordinátái a felület egyenletébe behelyettesítve azonossággá alakítják. Így az azonos egyenlőség igaz: F [x(t), nál nél(t), z (t)]= 0.

Ennek az azonosságnak a megkülönböztetése a változóhoz képest t, a láncszabály segítségével egy új azonos egyenlőséget kapunk, amely a görbe minden pontján érvényes, beleértve a pontot is. P (x 0 , y 0 , z 0):

A P pont feleljen meg a paraméter értékének t 0, vagyis x 0 = x (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Ezután a pontban számított utolsó összefüggés R, a formát veszi fel

Ez a képlet két vektor skaláris szorzata. Az első egy konstans vektor

független a felületi görbe megválasztásától.

A második vektor a pontban érintő R a vonalhoz L, ami azt jelenti, hogy a felület vonalválasztásától függ, azaz változó vektor.

A bevezetett jelöléssel az egyenlőség a következő:

írjuk át hogyan.

Jelentése a következő: a skaláris szorzat egyenlő nullával, ezért a vektorok merőlegesek. Egy ponton átmenő összes lehetséges görbe kiválasztása R az s felületen különböző érintővektorokat szerkesztünk a pontban R ezekre a sorokra; a vektor nem függ ettől a választástól, és egyikre merőleges lesz, vagyis minden érintővektor ugyanabban a síkban helyezkedik el, amely definíció szerint érinti az s felületet, és a pont R ebben az esetben érintőpontnak nevezzük. A vektor a felület normál irányának vektora.

Meghatározás 2: A P pontban lévő s felület normálja a P ponton átmenő egyenes, amely merőleges az ebben a pontban megszerkesztett érintősíkra.

Bebizonyítottuk, hogy létezik egy érintősík, következésképpen a felület normálja. Írjuk fel az egyenleteiket:

A P (x0, y0, z0) pontban szerkesztett érintősík egyenlete az s felülethez, amelyet az F(x, y, z) = 0 egyenlet adott;

Egy pontban megszerkesztett normális egyenlete R a felszínre s.

Példa: Határozzuk meg a parabola forgásával alkotott felület egyenletét:

z 2 = 2p (y +2)

az y tengely körül számítsuk ki, feltéve, hogy a pont M(3, 1, - 3) a felszínhez tartozik. Határozzuk meg a normál és az érintősík egyenleteit az M pontban.

Megoldás. A forgási felület írásának szabályát használva a következőket kapjuk:

z 2 + x 2 = 2p (y +2) .

Ebbe az egyenletbe behelyettesítve az M pont koordinátáit, kiszámítjuk a p paraméter értékét: 9 + 9 = 2р(1 + 2) . Rögzítjük a ponton áthaladó forgásfelület végső képét M:

z 2 + x 2 = 6(y +2).

Most a képletek segítségével megtaláljuk a normál és az érintősík egyenleteit, amelyekhez először kiszámítjuk a függvény parciális deriváltjait:

F(x, y) = z 2 + x 2- 6 (y +2):

Ekkor az érintősík egyenlete felveszi a formát 6 (x - 3) - 6 (y - 1) - 6 (z + 3) = 0 vagy x-y-z-5=0;

Normál sík egyenlet

1.

4.

Érintősík és felület normál

Legyen adott valamilyen felület, A a felület fix pontja, B pedig a felület változó pontja,

Nem nulla vektor

Az F (x, y, z) = 0 felületi pontot közönségesnek nevezzük, ha ebben a pontban

1. az F " x , F " y , F " z parciális deriváltak folytonosak;
2. (F "x)2 + (F"y)2 + (F"z)2 ≠ 0.

Ha ezen feltételek közül legalább egy megsértődik, a felületi pontot hívjuk a felület speciális pontja .

1. tétel. Ha M(x 0 , y 0 , z 0 ) az F (x , y , z) = 0 felület közönséges pontja, akkor a vektor

normális erre a felületre az M pontban (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Bizonyíték könyvében I.M. Petrushko, L.A. Kuznyecova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova `` Felső matematika tantárgy: Integrálszámítás. Több változó függvényei. Differenciál egyenletek. M.: MPEI Kiadó, 2002 (128. o.).

Normális a felszínre egy ponton van egy egyenes, amelynek irányvektora normális a felületre ebben a pontban, és amely átmegy ezen a ponton.

Kánoni normál egyenletek formában ábrázolható

Érintő sík a felülethez egy bizonyos pontban egy sík, amely ezen a ponton halad át, merőlegesen a felület normáljára ebben a pontban.

Ebből a meghatározásból az következik érintősík egyenlet a következő formában van:

Ha a felület egy pontja szinguláris, akkor abban a pontban előfordulhat, hogy a felületre normális vektor nem létezik, és ezért a felületnek nem lehet normálsíkja és érintősíkja.

Két változó függvénye teljes differenciáljának geometriai jelentése

Legyen a z = f (x, y) függvény az a (x 0, y 0) pontban differenciálható. A grafikonja a felület

f (x, y) − z = 0.

Tegyük fel z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Ekkor az A (x 0, y 0, z 0) pont a felülethez tartozik.

Az F (x, y, z) = f (x, y) − z függvény parciális deriváltjai

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = - 1

és az A pontban (x 0 , y 0 , z 0 )

1. folyamatosak;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Ezért A az F (x, y, z) felület közönséges pontja, és ezen a ponton van a felület érintősíkja. A (3) szerint az érintősík egyenlet alakja:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Egy pont függőleges elmozdulása az érintősíkon, amikor az a (x 0, y 0) pontból egy tetszőleges p (x, y) pontba mozog, B Q (2. ábra). A kérelmek megfelelő növekménye a

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 )

Itt a jobb oldalon van egy differenciálmű d z függvény z = f (x, y) az a (x 0, x 0) pontban. Ennélfogva,
d f (x 0, y 0). az f (x, y) függvény grafikonjára vonatkozó érintősík pont alkalmazásának növekménye az (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0) pontban).

A differenciál definíciójából az következik, hogy a függvény grafikonján látható P pont és az érintősíkon lévő Q pont közötti távolság nagyobb rendű infinitezim, mint a p pont és az a pont távolsága.

Legyen egy felület, amelyet egy formaegyenlet határoz meg

Vezessük be a következő definíciót.

Definíció 1. Egy egyenest a felület valamely pontján érintőjének nevezünk, ha igen

érintő bármely, a felületen fekvő és a ponton áthaladó görbét.

Mivel a P ponton végtelen számú különböző görbe megy át a felületen, akkor általánosságban elmondható, hogy az ezen a ponton áthaladó felületnek végtelen számú érintője lesz.

Vezessük be a felület szinguláris és közönséges pontjainak fogalmát

Ha egy pontban mindhárom derivált nulla, vagy ezek közül legalább egy nem létezik, akkor az M pontot a felület szinguláris pontjának nevezzük. Ha egy pontban mindhárom derivált létezik és folytonos, és legalább az egyik különbözik nullától, akkor az M pontot a felület közönséges pontjának nevezzük.

Most megfogalmazhatjuk a következő tételt.

Tétel. Egy adott felület (1) minden érintővonala a rendes P pontjában ugyanabban a síkban van.

Bizonyíték. Tekintsünk egy bizonyos L egyenest a felületen (206. ábra), amely átmegy a felület adott P pontján. Adjuk meg a vizsgált görbét parametrikus egyenletekkel

A görbe érintője a felület érintője lesz. Ennek az érintőnek az egyenletek alakja

Ha a (2) kifejezéseket behelyettesítjük az (1) egyenletbe, akkor ez az egyenlet azonossággá válik t-hez képest, mivel a (2) görbe az (1) felületen fekszik. Megkülönböztetjük azáltal, hogy megkapjuk

Ennek a vektornak a vetületei függnek - a P pont koordinátáitól; megjegyezzük, hogy mivel a P pont közönséges, ezek a P pontbeli vetületek nem tűnnek el egyszerre, ezért

a P ponton áthaladó és a felületen fekvő görbe érintője. Ennek a vektornak a vetületeit a (2) egyenletek alapján számítjuk ki a P pontnak megfelelő t paraméter értékén.

Számítsuk ki az N vektorok skaláris szorzatát, amely egyenlő az azonos nevű vetületek szorzatának összegével:

A (3) egyenlőség alapján a jobb oldali kifejezés nulla, ezért

Az utolsó egyenlőségből következik, hogy az LG vektor és a (2) görbe érintővektora a P pontban merőlegesek. A fenti érvelés érvényes minden olyan görbére (2), amely áthalad a P ponton és a felületen fekszik. Következésképpen a P pontban lévő felület minden érintője merőleges ugyanarra az N vektorra, és ezért ezek az érintők ugyanabban a síkban vannak, amelyek merőlegesek az LG vektorra. A tétel bebizonyosodott.

Definíció 2. Azt a síkot, amelyben a felület adott P pontján átmenő egyenesek összes érintője található, a P pontban lévő felület érintősíkjának nevezzük (207. ábra).

Vegyük észre, hogy a felület szinguláris pontjain nem lehet érintősík. Az ilyen pontokon a felület érintővonalai nem feltétlenül egy síkban fekszenek. Például egy kúpos felület csúcsa szinguláris pont.

A kúpos felület érintői ezen a ponton nem fekszenek egy síkban (maguk is kúpos felületet alkotnak).

Írjuk fel az (1) felület érintősíkjának egyenletét egy közönséges pontban. Mivel ez a sík merőleges a (4) vektorra, ezért az egyenletének alakja van

Ha a felület egyenlete a formában van megadva, vagy az érintősík egyenlete ebben az esetben a következőt veszi fel

Megjegyzés. Ha beírjuk a (6) képletet, akkor ez a képlet a formát veszi fel

jobb oldala a függvény teljes differenciálja. Ennélfogva, . Így két változó függvényének teljes differenciája az x és y független változók növekményének megfelelő pontban egyenlő a felület érintősíkjának megfelelő növekményével, amely a függvény grafikonja.

Definíció 3. A felület (1) érintősíkra merőleges pontján keresztül húzott egyenest a felület normálisának nevezzük (207. ábra).

Írjuk fel a normál egyenleteket. Mivel az iránya egybeesik az N vektor irányával, egyenletei alakja lesz

Tekintsük több változó függvény deriváltjának geometriai alkalmazásait. Adjunk meg implicit módon két változó függvényét: . Ezt a függvényt a definíciós tartományában egy bizonyos felület képviseli (5.1. szakasz). Vegyünk egy tetszőleges pontot ezen a felületen , amelyben mindhárom , , parciális derivált létezik és folytonos, és legalább az egyik nem egyenlő nullával.

Az ilyen jellemzőkkel rendelkező pontot ún rendes felszíni pont. Ha a fenti követelmények közül legalább az egyik nem teljesül, akkor a pont hívásra kerül különleges felszíni pont.

A felületen kiválasztott ponton keresztül sok görbe rajzolható, amelyek mindegyikének lehet érintője.

Meghatározás 5.8.1 . Azt a síkot, amelyben a felület egy bizonyos ponton áthaladó vonalainak összes érintője található, a pontban a felület érintősíkjának nevezzük. .

Egy adott sík megrajzolásához elegendő két érintővonal, azaz két görbe a felületen. Ezek lehetnek egy adott felület síkokkal történő vágása eredményeként kapott görbék (5.8.1. ábra).

Írjuk fel az érintővonal egyenletét a felület és a sík metszéspontjában fekvő görbére. Mivel ez a görbe a koordinátarendszerben található, a pontban lévő érintő egyenlete a 2.7. szakasz szerint a következőképpen alakul:

. (5.8.1)

Ennek megfelelően a koordinátarendszerben ugyanazon a ponton a felület és a sík metszéspontjában fekvő görbe érintőjének egyenlete a következő:

. (5.8.2)

Használjuk a kifejezést egy implicit módon meghatározott függvény deriváltjára (5.7. szakasz). Akkor na. Ezeket a származékokat (5.8.1) és (5.8.2) behelyettesítve kapjuk, hogy:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Mivel az így kapott kifejezések nem mások, mint kanonikus formájú egyenesek egyenletei (15. szakasz), ezért (5.8.3)-ból megkapjuk az irányvektort , és (5.8.4) – . A keresztszorzat normálvektort ad az adott érintő egyenesekre, és így az érintősíkra:

Ebből következik, hogy a felület érintősíkjának egyenlete a pontban a következő űrlappal rendelkezik (14. tétel):

Meghatározás 5.8.2 . Egy ponton keresztül húzott egyenes Az érintősíkra ezen a ponton merőleges felületet a felület normáljának nevezzük.

Mivel a felület normáljának irányvektora egybeesik az érintősík normáljával, a normálegyenlet a következőképpen alakul:

.

Skaláris mező

Adjunk meg egy régiót a térben, amely ennek a területnek egy részét vagy egészét foglalja el. Ennek a területnek minden egyes pontja valamilyen törvény szerint kapcsolódjon egy bizonyos skaláris mennyiséghez (számhoz).

Meghatározás 5.9.1 . Skalármezőnek nevezzük azt a területet a térben, amelynek minden pontja egy jól ismert törvény szerint hozzá van rendelve egy bizonyos skaláris mennyiséghez..

Ha a területhez valamilyen koordinátarendszer van társítva, például derékszögű derékszögű rendszer, akkor minden pont megkapja a saját koordinátáit. Ebben az esetben a skaláris mennyiség a koordináták függvényévé válik: a síkon – , háromdimenziós térben – . Magát a mezőt leíró függvényt gyakran skaláris mezőnek nevezik. A tér méretétől függően a skaláris mező lehet lapos, háromdimenziós stb.

Hangsúlyozni kell, hogy a skalármező nagysága csak a pont helyzetétől függ a régióban, de nem függ a koordinátarendszer megválasztásától.

Meghatározás 5.9.2 . Stacionáriusnak nevezzük azt a skaláris mezőt, amely csak egy pont helyzetétől függ a régióban, de nem függ az időtől..

A nem stacionárius skalármezőket, vagyis az időfüggőket ebben a részben nem vesszük figyelembe.

A skaláris mezőkre példa a hőmérsékleti mező, a légkör nyomásmezője és az óceánszint feletti magasságmező.

Geometriailag a skaláris mezőket gyakran úgynevezett vonalak vagy szintfelületek segítségével ábrázolják.

Meghatározás 5.9.3 . A tér azon pontjainak halmaza, amelyekben a skalármező található ugyanazt a jelentést sík felületnek vagy ekvipotenciális felületnek nevezik. Skalármező esetén ezt a halmazt szintvonalnak vagy ekvipotenciálvonalnak nevezzük.

Nyilvánvaló, hogy a szintfelületi egyenletnek megvan a formája , szintvonalak – . Ezekben az egyenletekben az állandó különböző értékeket megadva felületek vagy szintvonalak családját kapjuk. Például, (különböző sugarú egymásba ágyazott gömbök) vagy (ellipszisek családja).

A fizika szintvonalaira példák az izotermák (egyenlő hőmérsékletű vonalak), az izobárok (egyenlő nyomású vonalak); geodéziából - egyenlő magasságú vonalak stb.