Antiderivatív függvény és határozatlan integrál

1. tény. Az integráció a differenciálás fordított művelete, nevezetesen egy függvény visszaállítása ennek a függvénynek az ismert deriváltjából. A funkció így helyreállt F(x) nak, nek hívják antiderivatív funkcióhoz f(x).

Definíció 1. Funkció F(x f(x) bizonyos időközönként x, ha minden értékre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség F "(x)=f(x), vagyis ezt a függvényt f(x) az antiderivatív függvény deriváltja F(x). .

Például a függvény F(x) = bűn x a függvény antideriváltja f(x) = cos x a teljes számegyenesen, hiszen x bármely értékére (bűn x)" = (cos x) .

Definíció 2. Függvény határozatlan integrálja f(x) az összes antiderivált készlete. Ebben az esetben a jelölést használják

∫

f(x)dx

hol a jel ∫ integráljelnek, függvénynek nevezzük f(x) – integrand függvény, és f(x)dx – integráns kifejezés.

Így ha F(x) – valamilyen antiderivatív a f(x), Ez

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ahol C - tetszőleges állandó (konstans).

A függvény antideriváltjainak mint határozatlan integrál jelentésének megértéséhez a következő analógia megfelelő. Legyen ajtó (hagyományos faajtó). Feladata, hogy „ajtó legyen”. Miből van az ajtó? Fából készült. Ez azt jelenti, hogy az „ajtónak lenni” függvény integrandusának, azaz határozatlan integráljának antideriváltjainak halmaza a „fának lenni + C” függvény, ahol C egy konstans, ami ebben az összefüggésben jelöli például a fa típusát. Ahogy egy ajtót fából készítenek bizonyos szerszámok segítségével, egy függvény származékát egy antiderivatív függvényből „készítik” képletek, amelyeket a derivált tanulmányozása során tanultunk meg .

Ekkor a gyakori tárgyak és a hozzájuk tartozó antiszármazékok ("ajtónak lenni" - "fának lenni", "kanálnak lenni" - "fémnek lenni" stb.) függvénytáblázata hasonló az alaptáblázathoz. határozatlan integrálok, amelyeket az alábbiakban adunk meg. A határozatlan integrálok táblázata felsorolja a közös függvényeket, feltüntetve azokat az antideriváltokat, amelyekből ezek a függvények „készültek”. A határozatlan integrál megtalálásával kapcsolatos problémák egy részében olyan integránsokat adunk meg, amelyek nagyobb erőfeszítés nélkül közvetlenül integrálhatók, vagyis a határozatlan integrálok táblázatával. Bonyolultabb problémák esetén először az integrandust kell átalakítani, hogy táblaintegrálokat lehessen használni.

2. tény. Amikor egy függvényt antideriváltként állítunk vissza, figyelembe kell vennünk egy tetszőleges állandót (konstanst) C, és annak érdekében, hogy ne írjon listát az antideriváltakról különféle állandókkal 1-től végtelenig, meg kell írnia egy tetszőleges állandóval rendelkező antiderivált készletet C például így: 5 x³+C. Tehát egy tetszőleges állandó (konstans) szerepel az antiderivált kifejezésében, mivel az antiderivált lehet függvény, például 5 x³+4 vagy 5 x³+3 és ha differenciálódik, 4 vagy 3, vagy bármely más állandó nullára megy.

Tegyük fel az integrációs problémát: erre a függvényre f(x) találni egy ilyen funkciót F(x), amelynek származéka egyenlő f(x).

1. példa Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás. Ennél a függvénynél az antiderivatív a függvény

Funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x), ha a származék F(x) egyenlő f(x), vagy ami ugyanaz, a különbség F(x) egyenlő f(x) dx, azaz

(2)

Ezért a függvény a függvény antideriváltja. Azonban nem ez az egyetlen antiderivatív a . Funkcióként is szolgálnak

Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó. Ezt differenciálással lehet igazolni.

Így ha egy függvénynek egy antideriválta van, akkor végtelen számú antideriválta van, amelyek egy állandó taggal különböznek egymástól. Egy függvény összes antideriváltja a fenti formában van írva. Ez a következő tételből következik.

Tétel (2. formális tényállítás). Ha F(x) – a funkció antideriváltja f(x) bizonyos időközönként x, majd bármely más származékellenes szer számára f(x) ugyanazon az intervallumon ábrázolható formában F(x) + C, Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó.

A következő példában áttérünk az integrálok táblázatára, amelyet a 3. bekezdésben adunk meg, a határozatlan integrál tulajdonságai után. Ezt a teljes táblázat elolvasása előtt tesszük, hogy a fentiek lényege világos legyen. A tábla és tulajdonságok után pedig teljes egészében fogjuk használni őket az integráció során.

2. példa Keresse meg az antiderivatív függvénykészleteket:

Megoldás. Találunk olyan antiderivatív függvénykészleteket, amelyekből ezek a függvények „készülnek”. Amikor az integrálok táblázatából képleteket említünk, egyelőre csak fogadjuk el, hogy ott vannak ilyen formulák, és egy kicsit tovább fogjuk tanulmányozni a határozatlan integrálok teljes táblázatát.

1) A (7) képlet alkalmazása az integrálok táblázatából n= 3, kapjuk

2) A (10) képlet segítségével az integrálok táblázatából n= 1/3, megvan

3) Azóta

majd a (7) képlet szerint -val n= -1/4 találunk

Nem maga a függvény van az integráljel alá írva f, és a differenciál szorzata dx. Ez elsősorban annak jelzésére szolgál, hogy melyik változó alapján keresik az antiderivatívet. Például,

, ;

itt az integrandus mindkét esetben egyenlő -vel, de határozatlan integráljai a vizsgált esetekben eltérőnek bizonyulnak. Az első esetben ezt a függvényt a változó függvényének tekintjük x, a másodikban pedig - függvényében z .

Egy függvény határozatlan integráljának megtalálásának folyamatát a függvény integrálásának nevezzük.

A határozatlan integrál geometriai jelentése

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy görbét y=F(x)és már tudjuk, hogy az érintőszög érintője minden pontjában adott függvény f(x) ennek a pontnak abszcisszán.

A derivált geometriai jelentése szerint az érintőszög érintője a görbe adott pontjában y=F(x) egyenlő a származék értékével F"(x). Tehát meg kell találnunk egy ilyen függvényt F(x), amelyekre F"(x)=f(x). A feladathoz szükséges funkció F(x) egy antiderivátuma f(x). A feladat feltételeit nem egy görbe, hanem egy görbecsalád elégíti ki. y=F(x)- ezen görbék egyike, és abból bármely más görbe a tengely mentén történő párhuzamos fordítással előállítható Oy.

Nevezzük az antiderivatív függvény grafikonját f(x) integrálgörbe. Ha F"(x)=f(x), akkor a függvény grafikonja y=F(x) van egy integrálgörbe.

3. tény. A határozatlan integrált geometriailag az összes integrálgörbe családja ábrázolja , mint az alábbi képen. Az egyes görbék távolságát a koordináták origójától egy tetszőleges integrációs állandó határozza meg C.

A határozatlan integrál tulajdonságai

4. tény. 1. Tétel. Egy határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, differenciálja pedig egyenlő az integrandusszal.

5. tény. 2. Tétel. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja f(x) egyenlő a függvénnyel f(x) állandó időtartamig , azaz

(3)

Az 1. és 2. tétel azt mutatja, hogy a differenciálás és az integráció kölcsönösen inverz műveletek.

6. tény. 3. Tétel. Az integrandus állandó tényezője kivehető a határozatlan integrál előjeléből , azaz

Az integrálok megoldása könnyű feladat, de csak néhány kiválasztott számára. Ez a cikk azoknak szól, akik szeretnének megtanulni megérteni az integrálokat, de semmit vagy szinte semmit nem tudnak róluk. Integrál... Miért van szükség rá? Hogyan kell kiszámolni? Mik azok a határozott és határozatlan integrálok?

Ha az integrál egyetlen felhasználási módja egy integrálikon alakú horgolótű használata, hogy valami hasznosat hozzon ki a nehezen elérhető helyekről, akkor üdvözöljük! Tudja meg, hogyan kell megoldani a legegyszerűbb és egyéb integrálokat, és miért nem nélkülözheti a matematikában.

Tanulmányozzuk a koncepciót « integrál »

Az integráció már az ókori Egyiptomban ismert volt. Persze nem a modern formájában, de mégis. Azóta a matematikusok sok könyvet írtak erről a témáról. Különösen kitüntették magukat Newton És Leibniz , de a dolgok lényege nem változott.

Hogyan lehet a semmiből megérteni az integrálokat? Semmiképpen! A téma megértéséhez továbbra is szüksége lesz a matematikai elemzés alapjainak alapismeretére. Az integrálok megértéséhez szükséges információk már vannak a blogunkon.

Határozatlan integrál

Legyen valami funkciónk f(x) .

Határozatlan integrálfüggvény f(x) ezt a függvényt hívják F(x) , amelynek deriváltja egyenlő a függvénnyel f(x) .

Más szavakkal, az integrál egy fordított származék vagy egy antiderivált. A hogyanról egyébként cikkünkben olvashat.

Minden folytonos funkcióhoz létezik antiderivált. Emellett gyakran konstans előjelet adnak az antideriválthoz, mivel a konstansban eltérő függvények származékai egybeesnek. Az integrál megtalálásának folyamatát integrációnak nevezzük.

Egyszerű példa:

Annak érdekében, hogy ne számítsuk ki folyamatosan az elemi függvények antideriváltjait, célszerű táblázatba helyezni és kész értékeket használni.

Az integrálok teljes táblázata a tanulók számára

Határozott integrál

Amikor az integrál fogalmával foglalkozunk, végtelenül kicsi mennyiségekkel van dolgunk. Az integrál segít kiszámítani egy ábra területét, egy nem egyenletes test tömegét, az egyenetlen mozgás során megtett távolságot és még sok mást. Emlékeztetni kell arra, hogy az integrál végtelenül sok végtelenül kicsi tag összege.

Példaként képzeljük el valamilyen függvény grafikonját.

Hogyan találjuk meg egy függvény grafikonja által határolt ábra területét? Integrál használatával! Osszuk fel a függvény koordinátatengelyeivel és grafikonjával határolt görbe vonalú trapézt infinitezimális szegmensekre. Így az ábra vékony oszlopokra lesz osztva. Az oszlopok területének összege a trapéz területe lesz. De ne feledje, hogy egy ilyen számítás hozzávetőleges eredményt ad. Azonban minél kisebbek és keskenyebbek a szegmensek, annál pontosabb lesz a számítás. Ha olyan mértékben csökkentjük őket, hogy a hosszúság nullára hajlik, akkor a szegmensek területének összege az ábra területéhez fog fordulni. Ez egy határozott integrál, amely így van írva:

Az a és b pontokat integrációs határoknak nevezzük.

« Integrál »

Apropó! Olvasóink most 10% kedvezményt kapnak

A próbabábu integrálszámításának szabályai

A határozatlan integrál tulajdonságai

Hogyan lehet megoldani egy határozatlan integrált? Itt megnézzük a határozatlan integrál tulajdonságait, ami a példák megoldásánál lesz hasznos.

• Az integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

• A konstans kivehető az integráljel alól:

• Az összeg integrálja egyenlő az integrálok összegével. Ez a különbségre is igaz:

Határozott integrál tulajdonságai

• Linearitás:

• Az integrál előjele megváltozik, ha az integráció határait felcseréljük:

• Nál nél Bármi pontokat a, bÉs Val vel:

Azt már megtudtuk, hogy a határozott integrál egy összeg határa. De hogyan lehet konkrét értéket kapni egy példa megoldása során? Erre van a Newton-Leibniz képlet:

Példák integrálok megoldására

Az alábbiakban megvizsgáljuk a határozatlan integrált és a megoldási példákat. Javasoljuk, hogy saját maga találja ki a megoldás bonyolultságát, és ha valami nem világos, tegye fel kérdéseit a megjegyzésekben.

Az anyag megerősítéséhez nézzen meg egy videót az integrálok gyakorlati megoldásáról. Ne essen kétségbe, ha az integrált nem adják meg azonnal. Forduljon egy professzionális diákszolgálathoz, és minden zárt felületen lévő hármas vagy ívelt integrált az Ön rendelkezésére áll.

>>Integrációs módszerek

Alapvető integrációs módszerek

Integrál, határozott és határozatlan integrál definíciója, integrál táblázat, Newton-Leibniz formula, részenkénti integráció, példák integrálszámításra.

Határozatlan integrál

Egy adott X intervallumban differenciálható F(x) függvényt hívunk a függvény antideriváltja f(x), vagy f(x) integrálja, ha minden x ∈X-re teljesül a következő egyenlőség:

F "(x) = f(x). (8.1)

Egy adott függvény összes antideriváltjának megtalálását annak nevezzük integráció. Határozatlan integrálfüggvény f(x) egy adott X intervallumon az f(x) függvény összes antiderivatív függvényének halmaza; megnevezés -

Ha F(x) az f(x) függvény valamilyen antideriváltja, akkor ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

ahol C tetszőleges állandó.

Integrálok táblázata

Közvetlenül a definícióból megkapjuk a határozatlan integrál főbb tulajdonságait és a táblázatos integrálok listáját:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=állandó)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

A táblázatos integrálok listája

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Változó csere

Számos függvény integrálásához használja a változócsere módszert ill helyettesítések, lehetővé teszi az integrálok táblázatos formájú redukálását.

Ha az f(z) függvény folytonos [α,β]-on, akkor a z =g(x) függvénynek folytonos deriváltja van, és α ≤ g(x) ≤ β, akkor

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Sőt, a jobb oldali integráció után a z=g(x) behelyettesítést kell végrehajtani.

Ennek bizonyításához elegendő az eredeti integrált a következő formában írni:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Például:

1)

2) .

Alkatrészenkénti integráció módja

Legyenek u = f(x) és v = g(x) olyan függvények, amelyeknek folytonos . Aztán a munka szerint

d(uv))= udv + vdu vagy udv = d(uv) - vdu.

A d(uv) kifejezésnél az antiderivált nyilvánvalóan uv lesz, így a képlet teljesül:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ez a képlet kifejezi a szabályt részenkénti integráció. Ez vezeti az udv=uv"dx kifejezés integrációját a vdu=vu"dx kifejezés integrálásához.

Tegye például, hogy meg akarja találni a ∫xcosx dx értéket. Tegyük fel u = x, dv = cosxdx, tehát du=dx, v=sinx. Akkor

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

A részenkénti integráció szabályának hatóköre korlátozottabb, mint a változók helyettesítésének. De vannak integrálok egész osztályai, pl.

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax és mások, amelyeket a részenkénti integráció segítségével pontosan kiszámítunk.

Határozott integrál

A határozott integrál fogalmát a következőképpen vezetjük be. Legyen egy f(x) függvény definiálva egy intervallumon. Osszuk fel az [a,b] szakaszt n pontok szerinti részek a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Az f(ξ i)Δ x i alakú összeget nevezzük integrál összeg, és λ = maxΔx i → 0 határértékét, ha létezik és véges, az ún. határozott integrál f(x) függvényei a előtt bés ezt jelölik:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Az f(x) függvényt ebben az esetben hívjuk integrálható az intervallumon, az a és b számokat hívják az integrál alsó és felső határa.

Egy határozott integrálra a következő tulajdonságok érvényesek:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Az utolsó tulajdonság ún középérték tétel.

Legyen f(x) folytonos -on. Ekkor ezen a szegmensen van egy határozatlan integrál

∫f(x)dx = F(x) + C

és megtörténik Newton-Leibniz képlet, összekötve a határozott integrált a határozatlan integrállal:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometriai értelmezés: a határozott integrál egy görbe vonalú trapéz területe, amelyet felülről az y=f(x) görbe, az x = a és x = b egyenesek és a tengelyszakasz határol. Ökör.

Nem megfelelő integrálok

A végtelen határú integrálokat és a nem folytonos (korlátlan) függvények integráljait ún. nem a sajátod. Az első típusú helytelen integrálok - Ezek integrálok egy végtelen intervallumon, a következőképpen definiálva:

(8.7)

Ha ez a határ létezik és véges, akkor ún f(x) konvergens nem megfelelő integrálja az [a,+ ∞ intervallumon), és meghívásra kerül az f(x) függvény végtelen intervallumon keresztül integrálható[a,+ ∞). Ellenkező esetben azt mondják, hogy az integrál nem létezik vagy eltér.

A (-∞,b] és (-∞, + ∞) intervallumokon lévő nem megfelelő integrálokat hasonlóan definiáljuk:

Határozzuk meg a korlátlan függvény integráljának fogalmát. Ha f(x) minden értékre folytonos x szegmens, kivéve a c pontot, ahol f(x) végtelen szakadást mutat, akkor a második típusú nem megfelelő integrál f(x) a-tól b-ig terjed az összeg neve:

ha ezek a határok léteznek és végesek. Kijelölés:

Példák integrálszámításra

3.30. példa. Számítsa ki ∫dx/(x+2).

Megoldás. Jelöljük t = x+2, akkor dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

3.31. példa. Keresse meg ∫ tgxdx.

Megoldás.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Legyen t=cosx, akkor ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Megoldás.

Példa3.33. Megtalálja .

Megoldás. =

.

Példa3.34 . Keresse meg ∫arctgxdx.

Megoldás. Integráljuk részenként. Jelöljük u=arctgx, dv=dx. Ekkor du = dx/(x 2 +1), v=x, innen ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; mert
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Példa3.35 . Számítsa ki az ∫lnxdx-et.

Megoldás. A részenkénti integrációt alkalmazva a következőt kapjuk:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Ekkor ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Példa3.36 . Számítsa ki ∫e x sinxdx.

Megoldás. Jelöljük u = e x, dv = sinxdx, akkor du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. A ∫e x cosxdx integrált részenként is integráljuk: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Nekünk van:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Megkaptuk a ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx összefüggést, amelyből 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Példa 3.37. Számítsuk ki J = ∫cos(lnx)dx/x.

Megoldás. Mivel dx/x = dlnx, akkor J= ∫cos(lnx)d(lnx). Az lnx-et t-re cserélve a J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C táblázatintegrálhoz jutunk.

Példa 3.38 . Számítsuk ki J = .

Megoldás. Figyelembe véve, hogy = d(lnx), behelyettesítjük lnx = t értékkel. Ekkor J = .

1. definíció

A $$ szegmens $y=f(x)$ függvényének $F(x)$ antideriváltja egy olyan függvény, amely ennek a szegmensnek minden pontjában differenciálható, és deriváltjára a következő egyenlőség érvényes:

2. definíció

Egy adott $y=f(x)$ függvény adott szegmensen definiált antideriváltjainak halmazát egy adott $y=f(x)$ függvény határozatlan integráljának nevezzük. A határozatlan integrált a $\int f(x)dx $ szimbólummal jelöljük.

A deriváltak táblázatából és a 2. definícióból megkapjuk az alapintegrálok táblázatát.

1. példa

Ellenőrizze a 7-es képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

2. példa

Ellenőrizze a 8-as képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

3. példa

Ellenőrizze a 11" képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

4. példa

Ellenőrizze a 12-es képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

5. példa

Ellenőrizze a 13" képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) \]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

6. példa

Ellenőrizze a 14-es képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

7. példa

Keresse meg az integrált:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Használjuk az integrálösszeg tételt:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Használjuk azt a tételt, hogy egy állandó tényezőt az integráljelen kívül helyezünk el:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Az integrálok táblázata szerint:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Az első integrál kiszámításakor a 3. szabályt használjuk:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Ennélfogva,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]