底が異なる対数の引き算。 対数の公式

対数式、解決例。 この記事では、対数を解くことに関連する問題を見ていきます。 このタスクでは、式の意味を見つけるという質問が行われます。 対数の概念は多くのタスクで使用され、その意味を理解することが非常に重要であることに注意してください。 統一国家試験に関しては、方程式を解くとき、応用問題、関数の学習に関連するタスクでも対数が使用されます。

対数の意味そのものを理解するために例を示します。

基本的な対数恒等式:

常に覚えておく必要がある対数の性質:

*積の対数は、係数の対数の合計に等しい。

* * *

*商（分数）の対数は、因子の対数間の差に等しい。

* * *

*指数の対数は、指数とその底の対数の積に等しい。

* * *

※新財団へ移行

* * *

その他のプロパティ:

* * *

対数の計算は、指数のプロパティの使用と密接に関連しています。

それらのいくつかをリストしてみましょう。

この特性の本質は、分子が分母に、またはその逆に変換されると、指数の符号が逆に変化することです。 例えば：

この性質から得られる結果は次のとおりです。

* * *

べき乗を累乗すると、底は変わりませんが、指数は乗算されます。

* * *

ご覧のとおり、対数の概念自体は単純です。 重要なことは、一定のスキルを身につける適切な練習が必要であるということです。 もちろん公式の知識も必要です。 初等対数を変換するスキルが発達していない場合、単純なタスクを解くときに簡単に間違いを犯す可能性があります。

練習して、最初に数学コースの最も単純な例を解いてから、より複雑な例に進みます。 将来的には、統一国家試験には出ませんが、興味深い対数の解き方をぜひお見せしますので、お見逃しなく！

それだけです！ 頑張って！

よろしくお願いします、アレクサンダー・クルチツキーク

P.S: ソーシャルネットワーク上でこのサイトについて教えていただければ幸いです。

原始レベル代数の要素の 1 つは対数です。 この名前はギリシャ語の「数」または「べき乗」という言葉に由来しており、最終的な数値を求めるために底の数値を累乗する必要があることを意味します。

対数の種類

• log a b – a を底とする数値 b の対数 (a > 0、a ≠ 1、b > 0)。
• log b – 10 進対数 (10 を底とする対数、a = 10)。
• ln b – 自然対数 (e を底とする対数、a = e)。

対数を解くにはどうすればいいですか?

b の底 a に対する対数は、b を底 a まで累乗する必要がある指数です。 得られた結果は、「a を底とする b の対数」のように発音されます。 対数問題の解決策は、指定された数値から所定の数値の累乗を求める必要があることです。 対数を決定または解くため、また表記そのものを変換するための基本的な規則がいくつかあります。 これらを使用して、対数方程式を解き、導関数を求め、積分を解き、その他多くの演算を実行します。 基本的に、対数自体の解はその簡略化された表記です。 以下に基本的な式とプロパティを示します。

任意の ; a > 0; a ≠ 1 および任意の x について; y > 0。

• a log a b = b – 基本対数恒等式
• ログ a 1 = 0
• 対数 a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x 、k ≠ 0 の場合
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – 新しいベースに移動するための公式
• log a x = 1/log x a

対数の解き方 - 段階的な解き方の説明

• まず、必要な方程式を書き留めます。

注意: 底対数が 10 の場合、エントリは短縮され、10 進対数になります。 自然数 e がある場合、それを自然対数に換算して書き留めます。 これは、すべての対数の結果が、数値 b を得るために底の数値を累乗することを意味します。

直接的には、解決策はこの次数を計算することにあります。 対数を使用して式を解く前に、ルールに従って、つまり公式を使用して式を簡略化する必要があります。 記事を少し遡ると主な正体を見つけることができます。

底が同じで異なる 2 つの数値の対数を加算および減算する場合、数値 b と数値 c の積または除算をそれぞれ 1 つの対数に置き換えます。 この場合、別の拠点に移動するための公式を適用できます (上記を参照)。

式を使用して対数を簡略化する場合は、考慮すべき制限がいくつかあります。 つまり、対数 a の底は正の数にすぎませんが、1 には等しくありません。 数値 b は、a と同様に 0 より大きくなければなりません。

式を簡略化すると、数値的に対数を計算できなくなる場合があります。 多くの累乗は無理数であるため、そのような式が意味をなさないことが起こります。 この条件では、数値のべき乗を対数のままにします。

ご存知のとおり、式にべき乗を掛ける場合、それらの指数は常に加算されます (a b *a c = a b+c)。 この数学法則はアルキメデスによって導出され、その後 8 世紀に数学者ヴィラセンが整数の指数の表を作成しました。 対数のさらなる発見に貢献したのは彼らでした。 この関数の使用例は、面倒な乗算を単純な加算によって簡素化する必要があるほとんどの場所で見られます。 この記事を 10 分間読んでいただければ、対数とは何か、そして対数をどのように扱うかについて説明します。 シンプルで親しみやすい言語で。

数学における定義

対数は、次の形式の式です。 log a b=c、つまり、負でない任意の数 (つまり、任意の正の数) "b" の底 "a" に対する対数は、累乗 "c とみなされます。最終的に値「b」を得るには、底「a」を累乗する必要があります。 例を使用して対数を分析しましょう。log 2 という式があるとします。 8. 答えを見つけるにはどうすればよいですか? それは非常に簡単です。2 から必要な累乗が 8 になるような累乗を見つける必要があります。頭の中でいくつかの計算を行うと、数字 3 が得られます。 それは真実です。2 の 3 乗により、答えは 8 になるからです。

対数の種類

多くの生徒や学生にとって、このトピックは複雑で理解できないように見えますが、実際には対数はそれほど怖いものではありません、主なことはその一般的な意味を理解し、その特性といくつかの規則を覚えておくことです。 対数式には 3 つの異なるタイプがあります。

1. 自然対数 ln a、底はオイラー数 (e = 2.7)。
2. 10 進数の a。底は 10 です。
3. a>1 を底とする任意の数 b の対数。

それらのそれぞれは、対数定理を使用した単純化、縮小、およびその後の単一対数への縮小などの標準的な方法で解決されます。 対数の正しい値を取得するには、対数の特性と、対数を解くときのアクションの順序を覚えておく必要があります。

ルールといくつかの制限事項

数学では、公理として受け入れられるルール制約がいくつかあります。つまり、それらは議論の対象ではなく、真実です。 たとえば、数値をゼロで割ることは不可能であり、負の数の偶根を抽出することも不可能です。 対数にも独自のルールがあり、これに従うと、長くて量の多い対数式でも操作方法を簡単に学ぶことができます。

• 基底「a」は常にゼロより大きく、1 に等しくない必要があります。そうでない場合、「1」と「0」はどの程度であっても常にその値と等しいため、式は意味を失います。
• a > 0、a b >0 の場合、「c」もゼロより大きくなければならないことがわかります。

対数を解くにはどうすればいいですか?

たとえば、方程式 10 x = 100 の答えを見つけるというタスクが与えられます。これは非常に簡単です。100 になる数値 10 を累乗して累乗を選択する必要があります。もちろん、これは 10 2 = です。 100。

次に、この式を対数形式で表してみましょう。 log 10 100 = 2 が得られます。対数を解くとき、すべてのアクションは実質的に収束して、特定の数値を取得するために対数の底を入力する必要がある累乗を求めます。

未知の度数の値を正確に判断するには、度数テーブルの操作方法を学ぶ必要があります。 次のようになります。

ご覧のとおり、技術的な知識と九九の知識があれば、一部の指数は直感的に推測できます。 ただし、より大きな値の場合は、電力テーブルが必要になります。 複雑な数学的トピックについてまったく知らない人でも使用できます。 左の列には数値 (基数 a) が含まれており、数値の一番上の行は数値 a を累乗した c の値です。 交点のセルには、答えとなる数値 (a c =b) が含まれています。 たとえば、数字 10 の最初のセルを 2 乗すると、値 100 が得られます。これは 2 つのセルの交点に示されます。 すべてはとてもシンプルで簡単なので、最も真のヒューマニストでも理解できるでしょう。

方程式と不等式

特定の条件下では、指数は対数になることがわかります。 したがって、あらゆる数学的数値表現は対数等式として記述することができます。 たとえば、3 4 =81 は、4 に等しい 81 の 3 を底とする対数として書くことができます (log 3 81 = 4)。 負の累乗の場合もルールは同じです。2 -5 = 1/32 を対数として書くと、log 2 (1/32) = -5 が得られます。 数学の最も魅力的なセクションの 1 つは、「対数」のトピックです。 以下の方程式の性質を調べた直後に、その例と解を見ていきます。 ここで、不等式がどのようなものか、そして不等式と方程式を区別する方法を見てみましょう。

次の式が与えられます: log 2 (x-1) > 3 - 未知の値「x」は対数符号の下にあるため、これは対数不等式です。 また、この式では 2 つの量が比較されます。目的の数値の底 2 に対する対数は、数値 3 よりも大きいです。

対数方程式と不等式の最も重要な違いは、対数を含む方程式 (たとえば、対数 2 x = √9) は答えに 1 つ以上の特定の数値を暗示するのに対し、不等式を解く際には両方の許容範囲が暗示されることです。値とポイントはこの関数を破って決定されます。 結果として、答えは方程式の答えのような単純な個々の数値のセットではなく、連続する一連の数値または数値のセットになります。

対数に関する基本定理

対数の値を求めるという原始的なタスクを解決する場合、その特性がわからない場合があります。 ただし、対数方程式や不等式に関しては、まず対数の基本的な性質をすべて明確に理解し、実際に適用する必要があります。 方程式の例は後で見ていきますが、最初に各プロパティを詳しく見てみましょう。

1. 主な恒等式は次のようになります: a logaB =B。 これは、a が 0 より大きく 1 ではなく、B が 0 より大きい場合にのみ適用されます。
2. 積の対数は、次の式で表すことができます: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2。この場合、必須の条件は次のとおりです: d、s 1、および s 2 > 0。 a≠1。 この対数公式を例と解法を使って証明することができます。 log a s 1 = f 1 および log a s 2 = f 2 とすると、a f1 = s 1、a f2 = s 2 となります。 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (次のプロパティ) が得られます。度 )、そして定義により、 log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2、これが証明する必要があるものです。
3. 商の対数は次のようになります: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2。
4. 数式の定理は次の形式になります: log a q b n = n/q log a b。

この式を「対数の次数の性質」といいます。 これは通常の学位の特性に似ていますが、すべての数学は自然公準に基づいているため、これは驚くべきことではありません。 証明を見てみましょう。

log a b = t とすると、a t =b になります。 両方の部分を m 乗すると、次のようになります。 a tn = b n ;

しかし、 a tn = (a q) nt/q = b n なので、log a q b n = (n*t)/t となり、log a q b n = n/q log a b となります。 定理は証明されました。

問題と不平等の例

対数に関する最も一般的なタイプの問題は、方程式と不等式の例です。 ほぼすべての問題集に掲載されており、数学の試験でも必須となります。 大学に入学したり、数学の入学試験に合格したりするには、そのような問題を正しく解く方法を知る必要があります。

残念ながら、対数の未知の値を解いて決定するための単一の計画やスキームはありませんが、特定のルールを各数学的不等式または対数方程式に適用できます。 まず第一に、式を簡略化できるか、または一般的な形式に縮小できるかどうかを確認する必要があります。 プロパティを正しく使用すれば、長い対数式を簡略化できます。 早速彼らのことを知りましょう。

対数方程式を解くときは、どのようなタイプの対数があるかを決定する必要があります。式の例には、自然対数または小数の対数が含まれている場合があります。

ln100、ln1026 の例を次に示します。 彼らの解決策は、要するに、底の 10 がそれぞれ 100 と 1026 に等しくなるべき乗を決定する必要があるという事実に帰着します。 自然対数を解くには、対数恒等式またはそのプロパティを適用する必要があります。 さまざまなタイプの対数問題を解く例を見てみましょう。

対数式の使用方法: 例と解決策付き

それでは、対数に関する基本定理の使用例を見てみましょう。

1. 積の対数の特性は、数値 b の大きな値をより単純な因数に分解する必要があるタスクで使用できます。 たとえば、log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512。答えは 9 です。
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ご覧のとおり、対数累乗の 4 番目のプロパティを使用して、一見複雑で解けない式をなんとか解くことができました。 底を因数分解して、対数の符号から指数値を取り出すだけです。

統一州試験の課題

対数は入学試験でよく出題され、特に統一州試験（学校卒業生全員を対象とした州試験）では対数の問題が多く出題されます。 通常、これらのタスクはパート A (試験の最も簡単なテスト部分) だけでなく、パート C (最も複雑で量の多いタスク) にも存在します。 試験では、「自然対数」というトピックについての正確かつ完璧な知識が必要です。

問題の例と解決策は、統一州試験の公式バージョンから引用されています。 このようなタスクがどのように解決されるかを見てみましょう。

log 2 (2x-1) = 4 と仮定します。 解決策:
式を少し単純化して書き直してみましょう。 log 2 (2x-1) = 2 2、対数の定義により、2x-1 = 2 4 となるため、2x = 17 となります。 x = 8.5。

• 解決策が煩雑で混乱しないように、すべての対数を同じ底に換算することが最善です。
• 対数記号の下の式はすべて正として示されるため、対数記号の下にある式の底となる指数を乗数として取り出すとき、対数記号の下に残る式は正でなければなりません。

説明書

与えられた対数式を書きます。 式で 10 の対数が使用されている場合、その表記は次のように短縮されます。 lg b は 10 進対数です。 対数の底が数値 e である場合は、次の式を書きます: ln b – 自然対数。 any の結果は、数値 b を取得するために基数を累乗する必要があることが理解されます。

2 つの関数の合計を求める場合は、それらを 1 つずつ微分して結果を加算するだけです: (u+v)" = u"+v";

2 つの関数の積の導関数を求める場合、最初の関数の導関数に 2 番目の関数を乗算し、2 番目の関数の導関数に最初の関数を乗算したものを加算する必要があります: (u*v)" = u"*v +v"*u;

2 つの関数の商の導関数を求めるには、被除数の導関数と除数関数を掛けた積から、除数の導関数と被除数の関数を掛けた積を引き、割る必要があります。これはすべて、除数関数の 2 乗によって計算されます。 (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

複素関数が与えられた場合、内部関数の導関数と外部関数の導関数を乗算する必要があります。 y=u(v(x)) とすると、y"(x)=y"(u)*v"(x) となります。

上記で得られた結果を使用すると、ほぼすべての関数を区別できます。 それでは、いくつかの例を見てみましょう。

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6)、y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *バツ））;
ある点での導関数の計算に関する問題もあります。 関数 y=e^(x^2+6x+5) が与えられた場合、点 x=1 における関数の値を見つける必要があります。
1) 関数の導関数を求めます: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)。

2) 指定された点 y"(1)=8*e^0=8 における関数の値を計算します。

トピックに関するビデオ

役立つアドバイス

初等導関数の表を学習します。 これにより時間を大幅に節約できます。

出典:

• 定数の導関数

それでは、非合理的な方程式と有理的な方程式の違いは何でしょうか? 未知の変数が平方根記号の下にある場合、方程式は無理数であると考えられます。

説明書

このような方程式を解く主な方法は、両辺を構築する方法です。 方程式正方形に。 しかし。 これは自然なことです。最初に行う必要があるのは、その標識を取り除くことです。 この方法は技術的には難しくありませんが、場合によってはトラブルにつながる可能性があります。 たとえば、方程式は v(2x-5)=v(4x-7) です。 両辺を二乗すると、2x-5=4x-7となります。 このような方程式を解くことは難しくありません。 x=1。 でも1番は与えられない 方程式。 なぜ？ x の値の代わりに 1 を式に代入すると、右辺と左辺に意味のない式が含まれます。 この値は平方根には無効です。 したがって、1 は無関係な根であるため、この方程式には根がありません。

したがって、無理数方程式は両辺を二乗する方法を使用して解決されます。 そして方程式を解いた後、無関係な根を切り落とす必要があります。 これを行うには、見つかった根を元の方程式に代入します。

別のものを考えてみましょう。
2х+vх-3=0
もちろん、この方程式は前のものと同じ方程式を使用して解くことができます。 コンパウンドの移動 方程式、平方根を持たないものを右側に移動し、二乗法を使用します。 結果として得られる有理方程式と根を解きます。 しかし、もう 1 つ、よりエレガントなものもあります。 新しい変数を入力します。 vх=y。 したがって、2y2+y-3=0 という形式の方程式が得られます。 つまり、通常の二次方程式です。 そのルーツを見つけてください。 y1=1、y2=-3/2。 次に２つ解いてみます 方程式 vх=1; vх=-3/2。 2 番目の方程式には根がなく、最初の方程式から x=1 であることが分かります。 根元の確認も忘れずに。

アイデンティティの解決は非常に簡単です。 これを行うには、設定された目標が達成されるまで同じ変換を実行する必要があります。 したがって、単純な算術演算の助けを借りて、提起された問題は解決されます。

必要になるだろう

• - 紙;
• - ペン。

説明書

このような変換の最も単純なものは、代数の短縮乗算です (和の 2 乗 (差)、2 乗の差、和 (差)、和の 3 乗 (差) など)。 さらに、本質的に同じ恒等式である三角関数の公式が多数あります。

実際、2 つの項の和の 2 乗は、最初の項の 2 乗に、最初の項と 2 番目の項の積の 2 倍を加え、2 番目の項の 2 乗を加えたものに等しくなります。つまり、(a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2。

両方を簡素化する

ソリューションの一般原則

変数の置換方法

第 2 種積分の解法

積分限界の置き換え