1°. ტანგენტის სიბრტყის და ნორმალურის განტოლებები ზედაპირის მკაფიო განსაზღვრის შემთხვევისთვის.

განვიხილოთ ორი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების ერთ-ერთი გეომეტრიული გამოყენება. დაუშვით ფუნქცია ზ = ვ (x ;y)დიფერენცირებადი წერტილში (x 0; y 0)რაღაც ტერიტორია დÎ R 2. დავჭრათ ზედაპირი S,ფუნქციას წარმოადგენს z,თვითმფრინავები x = x 0და y = y 0(სურ. 11).

თვითმფრინავი X = x 0კვეთს ზედაპირს სრაღაც ხაზის გასწვრივ z 0 (y),რომლის განტოლება მიიღება ორიგინალური ფუნქციის გამოხატულებაში ჩანაცვლებით z ==ვ (x ;y)იმის მაგივრად Xნომრები x 0 .Წერტილი M 0 (x 0 ;y 0,ვ (x 0 ;y 0))მრუდს ეკუთვნის z 0 (y).დიფერენცირებადი ფუნქციის გამო ზწერტილში M 0ფუნქცია z 0 (y)ასევე დიფერენცირებადია წერტილში y =y 0.ამიტომ, თვითმფრინავის ამ ეტაპზე x = x 0მოსახვევამდე z 0 (y)ტანგენტის დახატვა შეიძლება ლ 1.

განყოფილების მსგავსი მსჯელობის განხორციელება ზე = y 0,ავაშენოთ ტანგენსი ლ 2მოსახვევამდე z 0 (x)წერტილში X = x 0 -პირდაპირი 1 1 და 1 2 განსაზღვრეთ თვითმფრინავი ე.წ ტანგენტური სიბრტყეზედაპირზე სწერტილში M 0.

შევქმნათ მისი განტოლება. ვინაიდან თვითმფრინავი გადის წერტილში მო(x 0 ;y 0 ;z 0),მაშინ მისი განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

რომელიც შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(განტოლების გაყოფა -C-ზე და აღნიშვნა ).

ჩვენ ვიპოვით A 1და B 1.

ტანგენტების განტოლებები 1 1 და 1 2 გამოიყურება როგორც

შესაბამისად.

ტანგენტი ლ 1წევს თვითმფრინავში ა , შესაბამისად, ყველა წერტილის კოორდინატები ლ 1დააკმაყოფილეთ განტოლება (1). ეს ფაქტი შეიძლება დაიწეროს სისტემის სახით

B 1-ის მიმართ ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ ტანგენტის მსგავსი მსჯელობის განხორციელებას ლ 3ამის დადგენა ადვილია.

მნიშვნელობების ჩანაცვლება A 1და B 1 განტოლებაში (1), მივიღებთ საჭირო ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას:

ხაზი, რომელიც გადის წერტილს M 0და ზედაპირის ამ წერტილში აგებულ ტანგენტს სიბრტყის პერპენდიკულარულს მისი ეწოდება ნორმალური.

წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის პირობის გამოყენებით მარტივია ნორმალური ნორმალური განტოლებების მიღება:

კომენტარი.ტანგენტური სიბრტყის და ზედაპირის ნორმალური სიბრტყის ფორმულები მიიღება ზედაპირის ჩვეულებრივი, ანუ არასპეციალური წერტილებისთვის. Წერტილი M 0ზედაპირი ე.წ განსაკუთრებული,თუ ამ მომენტში ყველა ნაწილობრივი წარმოებული ტოლია ნულის ან ერთი მათგანი მაინც არ არსებობს. ჩვენ არ განვიხილავთ ასეთ პუნქტებს.

მაგალითი. დაწერეთ განტოლებები ტანგენტის სიბრტყისთვის და ნორმალური ზედაპირისთვის მის წერტილში M(2; -1; 1).

გამოსავალი. მოდი ვიპოვოთ ამ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები და მათი მნიშვნელობები M წერტილში

აქედან, (2) და (3) ფორმულების გამოყენებით, გვექნება: z-1=2(x-2)+2(y+1)ან 2х+2у-z-1=0- ტანგენტური სიბრტყის განტოლება და - ნორმალური განტოლებები.

2°. ტანგენტის სიბრტყისა და ნორმალურის განტოლებები ზედაპირის იმპლიციტური განსაზღვრის შემთხვევისთვის.

თუ ზედაპირი სმოცემული განტოლებით F (x ; y;ზ)= 0, შემდეგ განტოლებები (2) და (3), იმის გათვალისწინებით, რომ ნაწილობრივი წარმოებულები შეიძლება მოიძებნოს, როგორც იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებულები.

განმარტება 1 : ზედაპირის ტანგენსი მოცემულ P წერტილში (x 0, y 0, z 0) არის სიბრტყე, რომელიც გადის P წერტილში და შეიცავს P წერტილში აგებულ ყველა ტანგენტს ამ ზედაპირის ყველა შესაძლო მრუდის მიმართ, რომელიც გადის P წერტილს.

მოდით, ზედაპირი s იყოს მოცემული განტოლებით ფ (X, ზე, ზ) = 0 და წერტილი პ (x 0 , y 0 , ზ 0) ეკუთვნის ამ ზედაპირს. მოდით ავირჩიოთ რამდენიმე მრუდი ზედაპირზე ლ, წერტილის გავლით რ.

დაე X = X(ტ), ზე = ზე(ტ), ზ = ზ(ტ) - წრფის პარამეტრული განტოლებები ლ.

დავუშვათ, რომ: 1) ფუნქცია ფ(X, ზე, ზ) არის დიფერენცირებადი წერტილში რდა მისი ყველა ნაწილობრივი წარმოებული ამ ეტაპზე ნულის ტოლი არ არის; 2) ფუნქციები X(ტ), ზე(ტ), ზ(ტ) ასევე დიფერენცირებადია.

ვინაიდან მრუდი ეკუთვნის s ზედაპირს, ამ მრუდის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, რომლებიც შეიცვლება ზედაპირის განტოლებაში, გადააქცევს მას იდენტურად. ამრიგად, იდენტური თანასწორობა მართალია: ფ [x(ტ), ზე(ტ), ზ (ტ)]= 0.

ამ იდენტობის დიფერენცირება ცვლადთან მიმართებაში ტჯაჭვის წესის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ახალ იდენტურ თანასწორობას, რომელიც მოქმედებს მრუდის ყველა წერტილზე, მათ შორის წერტილში პ (x 0 , y 0 , ზ 0):

დაე, წერტილი P შეესაბამებოდეს პარამეტრის მნიშვნელობას ტ 0, ანუ x 0 = x (ტ 0), წ 0 = წ (ტ 0), ზ 0 = ზ (ტ 0). შემდეგ ბოლო კავშირი გამოითვლება წერტილში რ, მიიღებს ფორმას

ეს ფორმულა არის ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი. პირველი არის მუდმივი ვექტორი

ზედაპირზე მრუდის არჩევისგან დამოუკიდებელი.

მეორე ვექტორი არის ტანგენტი წერტილში რხაზამდე ლ, რაც ნიშნავს, რომ ეს დამოკიდებულია ზედაპირზე ხაზის არჩევანზე, ანუ ეს არის ცვლადი ვექტორი.

შემოღებული აღნიშვნით, თანასწორობა არის:

გადავიწეროთ როგორ.

მისი მნიშვნელობა ასეთია: სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია, შესაბამისად, ვექტორები პერპენდიკულარულია. წერტილის გავლით ყველა შესაძლო მოსახვევის შერჩევა რზედაპირზე s, ჩვენ გვექნება სხვადასხვა ტანგენტის ვექტორები აგებული წერტილში რამ ხაზებისკენ; ვექტორი არ არის დამოკიდებული ამ არჩევანზე და იქნება რომელიმე მათგანზე პერპენდიკულარული, ანუ ყველა ტანგენტის ვექტორი განლაგებულია იმავე სიბრტყეში, რომელიც, განსაზღვრებით, ტანგენსია ზედაპირზე s და წერტილი რამ შემთხვევაში მას ტანგენტის წერტილი ეწოდება. ვექტორი არის ზედაპირის ნორმალური მიმართულების ვექტორი.

განმარტება 2: ზედაპირის s ნორმალური P წერტილში არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის P წერტილზე და პერპენდიკულარულია ამ წერტილში აგებულ ტანგენსზე.

ჩვენ დავამტკიცეთ ტანგენტური სიბრტყის არსებობა და, შესაბამისად, ზედაპირის ნორმალური. დავწეროთ მათი განტოლებები:

P (x0, y0, z0) წერტილში აგებული tangent სიბრტყის განტოლება s ზედაპირზე მოცემული განტოლებით F(x, y, z) = 0;

ნორმის განტოლება აგებულია წერტილში რზედაპირზე ს.

მაგალითი:იპოვეთ პარაბოლის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი ზედაპირის განტოლება:

ზ 2 = 2p (y +2)

y ღერძის გარშემო, გამოთვალეთ იმ პირობით, რომ წერტილი M(3, 1, - 3)ზედაპირს ეკუთვნის. იპოვეთ ნორმალური და ტანგენსი სიბრტყის განტოლებები ზედაპირზე M წერტილში.

გამოსავალი.ბრუნვის ზედაპირის დაწერის წესის გამოყენებით ვიღებთ:

ზ 2 + x 2 = 2p (y +2) .

ამ განტოლებაში M წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებით, ჩვენ გამოვთვლით p პარამეტრის მნიშვნელობას: 9 + 9 = 2r(1 + 2) . ჩვენ ჩავწერთ წერტილის გავლით რევოლუციის ზედაპირის საბოლოო ხედს M:

ზ 2 + x 2 = 6 (წ +2).

ახლა ჩვენ ვიპოვით ნორმალური და ტანგენტური სიბრტყის განტოლებებს ფორმულების გამოყენებით, რისთვისაც ჯერ გამოვთვალოთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:

F(x, y) = ზ 2 + x 2- 6 (წ +2):

შემდეგ ფორმას იღებს ტანგენტის სიბრტყის განტოლება 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 ან x - y - z - 5 = 0;

ნორმალური სიბრტყის განტოლება

1.

4.

ტანგენტის სიბრტყე და ზედაპირი ნორმალურია

მიეცით გარკვეული ზედაპირი, A არის ზედაპირის ფიქსირებული წერტილი და B არის ზედაპირის ცვლადი წერტილი,

არანულოვანი ვექტორი

ზედაპირის წერტილს F (x, y, z) = 0 ეწოდება ჩვეულებრივი თუ ამ წერტილში

1. ნაწილობრივი წარმოებულები F " x , F " y , F " z უწყვეტია;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

თუ ამ პირობებიდან ერთი მაინც დაირღვა, ზედაპირის წერტილი ეწოდება ზედაპირის სპეციალური წერტილი .

თეორემა 1.თუ M(x 0 , y 0 , z 0 ) არის ზედაპირის ჩვეულებრივი წერტილი F (x , y , z) = 0 , შემდეგ ვექტორი

ნორმალურია ამ ზედაპირისთვის M წერტილში (x 0 , y 0 , z 0 ) .

მტკიცებულებაწიგნში მოცემული ი.მ. პეტრუშკო, ლ.ა. კუზნეცოვა, ვ.ი. პროხორენკო, ვ.ფ. საფონოვა `` უმაღლესი მათემატიკის კურსი: ინტეგრალური გაანგარიშება. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციები. დიფერენციალური განტოლებები. მ.: გამომცემლობა MPEI, 2002 (გვ. 128).

ნორმალური ზედაპირზერაღაც მომენტში არის სწორი ხაზი, რომლის მიმართულების ვექტორი ნორმალურია ზედაპირის მიმართ ამ წერტილში და რომელიც გადის ამ წერტილში.

კანონიკური ნორმალური განტოლებებიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით

ტანგენტური თვითმფრინავიზედაპირზე გარკვეულ წერტილში არის სიბრტყე, რომელიც გადის ამ წერტილში პერპენდიკულარულად ამ წერტილის ზედაპირის ნორმალურზე.

ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ტანგენტური სიბრტყის განტოლებააქვს ფორმა:

თუ წერტილი ზედაპირზე არის სინგულარული, მაშინ ამ დროს ზედაპირზე ნორმალური ვექტორი შეიძლება არ არსებობდეს და, შესაბამისად, ზედაპირს არ ჰქონდეს ნორმალური და ტანგენტური სიბრტყე.

ორი ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალური მნიშვნელობა

დაე, ფუნქცია z = f (x, y) იყოს დიფერენცირებადი a წერტილში (x 0, y 0). მისი გრაფიკი არის ზედაპირი

f (x, y) − z = 0.

დავდოთ z 0 = f (x 0 , y 0 ) . მაშინ წერტილი A (x 0 , y 0 , z 0 ) ეკუთვნის ზედაპირს.

F (x, y, z) = f (x, y) − z ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები არის

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

და A წერტილში (x 0 , y 0 , z 0 )

1. ისინი უწყვეტია;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

მაშასადამე, A არის F ზედაპირის ჩვეულებრივი წერტილი (x, y, z) და ამ წერტილში არის ზედაპირზე ტანგენტური სიბრტყე. (3) მიხედვით, ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

ტანგენტის სიბრტყეზე წერტილის ვერტიკალური გადაადგილება a (x 0, y 0) წერტილიდან p (x, y) თვითნებურ წერტილამდე გადაადგილებისას არის B Q (ნახ. 2). განაცხადების შესაბამისი მატება არის

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

აქ, მარჯვენა მხარეს არის დიფერენციალი დ z ფუნქცია z = f (x, y) a წერტილში (x 0, x 0). აქედან გამომდინარე,
დ f (x 0 , y 0 ). არის ტანგენტური სიბრტყის წერტილის აპლიკაციის ნამატი f (x, y) ფუნქციის გრაფიკზე (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

დიფერენციალური განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მანძილი ფუნქციის გრაფიკზე P წერტილსა და ტანგენტის სიბრტყეზე Q წერტილს შორის არის უფრო მაღალი რიგის უსასრულოდ მცირე მანძილი, ვიდრე მანძილი p წერტილიდან a წერტილამდე.

მოდით გვქონდეს ზედაპირი, რომელიც განისაზღვრება ფორმის განტოლებით

მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი განმარტება.

განმარტება 1. სწორ ხაზს უწოდებენ ზედაპირს ტანგენტს რაღაც მომენტში, თუ ის არის

ტანგენსი ნებისმიერი მრუდის ზედაპირზე, რომელიც მდებარეობს ზედაპირზე და გადის წერტილში.

მას შემდეგ, რაც ზედაპირზე დევს სხვადასხვა მრუდის უსასრულო რაოდენობა გადის P წერტილში, მაშინ, ზოგადად რომ ვთქვათ, იქნება უსასრულო რაოდენობის ტანგენტები ზედაპირზე, რომელიც გადის ამ წერტილში.

მოდით წარმოვიდგინოთ ზედაპირის სინგულარული და ჩვეულებრივი წერტილების კონცეფცია

თუ სამივე წარმოებული ერთ წერტილში ნულის ტოლია ან ამ წარმოებულებიდან ერთი მაინც არ არსებობს, მაშინ M წერტილს ზედაპირის სინგულარული წერტილი ეწოდება. თუ ერთ წერტილში სამივე წარმოებული არსებობს და უწყვეტია და ერთი მათგანი მაინც განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ M წერტილს ზედაპირის ჩვეულებრივი წერტილი ეწოდება.

ახლა შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი თეორემა.

თეორემა. ყველა ტანგენტი მოცემულ ზედაპირზე (1) მის ჩვეულებრივ P წერტილში დევს იმავე სიბრტყეში.

მტკიცებულება. განვიხილოთ ზედაპირის გარკვეული ხაზი L (სურ. 206), რომელიც გადის ზედაპირის მოცემულ P წერტილში. მოდით, განსახილველი მრუდი მოცემული იყოს პარამეტრული განტოლებებით

მრუდის ტანგენსი იქნება ზედაპირის ტანგენსი. ამ ტანგენტის განტოლებებს აქვთ ფორმა

თუ გამონათქვამები (2) ჩანაცვლებულია განტოლებაში (1), მაშინ ეს განტოლება გადაიქცევა იდენტურობაში t-ის მიმართ, რადგან მრუდი (2) დევს ზედაპირზე (1). მისი დიფერენცირება ვიღებთ

ამ ვექტორის პროგნოზები დამოკიდებულია - P წერტილის კოორდინატებზე; გაითვალისწინეთ, რომ რადგან წერტილი P ჩვეულებრივია, P წერტილში ეს პროგნოზები ერთდროულად არ ქრება და ამიტომ

მრუდის ტანგენსი, რომელიც გადის P წერტილში და დევს ზედაპირზე. ამ ვექტორის პროგნოზები გამოითვლება (2) განტოლებების საფუძველზე, t პარამეტრის მნიშვნელობაზე, რომელიც შეესაბამება P წერტილს.

გამოვთვალოთ N ვექტორების სკალარული ნამრავლი და რომელიც უდრის ამავე სახელწოდების პროგნოზების ნამრავლების ჯამს:

ტოლობის (3) საფუძველზე მარჯვენა მხარეს გამოსახულება ნულის ტოლია, შესაბამისად,

ბოლო ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ვექტორი LG და მრუდის ტანგენსი (2) P წერტილში პერპენდიკულარულია. ზემოაღნიშნული მსჯელობა მართებულია ნებისმიერი მრუდისთვის (2), რომელიც გადის P წერტილში და დევს ზედაპირზე. შესაბამისად, P წერტილში ზედაპირის თითოეული ტანგენტი პერპენდიკულარულია იმავე N ვექტორზე და, შესაბამისად, ყველა ეს ტანგენსი მდებარეობს იმავე სიბრტყეში, პერპენდიკულარულად LG ვექტორზე. თეორემა დადასტურდა.

განმარტება 2. სიბრტყეს, რომელშიც განლაგებულია მის მოცემულ P წერტილში გამავალი ზედაპირის ხაზების ყველა ტანგენსი, ეწოდება ზედაპირის ტანგენსი P წერტილში (სურ. 207).

გაითვალისწინეთ, რომ ზედაპირის ცალკეულ წერტილებზე შეიძლება არ იყოს ტანგენტური სიბრტყე. ასეთ წერტილებში ზედაპირის ტანგენსი შეიძლება არ იყოს იმავე სიბრტყეში. მაგალითად, კონუსური ზედაპირის წვერო არის სინგულარული წერტილი.

კონუსური ზედაპირის ტანგენტები ამ დროს არ დევს ერთ სიბრტყეში (ისინი თავად ქმნიან კონუსურ ზედაპირს).

დავწეროთ ტანგენსი სიბრტყის განტოლება ზედაპირზე (1) ჩვეულებრივ წერტილში. ვინაიდან ეს სიბრტყე პერპენდიკულარულია ვექტორზე (4), შესაბამისად, მის განტოლებას აქვს ფორმა

თუ ზედაპირის განტოლება მოცემულია სახით ან ტანგენტის სიბრტყის განტოლება ამ შემთხვევაში იღებს ფორმას

კომენტარი. თუ ჩავსვამთ ფორმულას (6), მაშინ ეს ფორმულა მიიღებს ფორმას

მისი მარჯვენა მხარე არის ფუნქციის სრული დიფერენციალი. აქედან გამომდინარე,. ამრიგად, ორი ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი წერტილში, რომელიც შეესაბამება x და y დამოუკიდებელი ცვლადების ნამატებს, უდრის ზედაპირზე ტანგენტის სიბრტყის აპლიკაციის შესაბამის ზრდას, რაც არის ამ ფუნქციის გრაფიკი.

განმარტება 3. სწორ ხაზს, რომელიც გავლებულია ზედაპირის (1) წერტილის მეშვეობით ტანგენტის სიბრტყეზე პერპენდიკულარულად, ეწოდება ზედაპირის ნორმალური (სურ. 207).

დავწეროთ ნორმალური განტოლებები. ვინაიდან მისი მიმართულება ემთხვევა ვექტორის N მიმართულებას, მის განტოლებებს ექნება ფორმა

განვიხილოთ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის გეომეტრიული აპლიკაციები. დაე ორი ცვლადის ფუნქცია იყოს მითითებული იმპლიციტურად: . ეს ფუნქცია მისი განმარტების დომენში წარმოდგენილია გარკვეული ზედაპირით (ნაწილი 5.1). ავიღოთ თვითნებური წერტილი ამ ზედაპირზე , რომელშიც სამივე ნაწილობრივი წარმოებული , , არსებობს და უწყვეტია და ერთი მათგანი მაინც არ არის ნულის ტოლი.

ასეთი მახასიათებლების მქონე წერტილს ე.წ ჩვეულებრივი ზედაპირის წერტილი. თუ ზემოთ ჩამოთვლილი მოთხოვნებიდან ერთი მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ წერტილი ეწოდება განსაკუთრებული ზედაპირის წერტილი.

ზედაპირზე შერჩეული წერტილის მეშვეობით შეიძლება მრავალი მრუდის დახატვა, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება ჰქონდეს ტანგენსი.

განმარტება 5.8.1 . სიბრტყეს, რომელშიც განლაგებულია ყველა ტანგენსი ხაზებზე ზედაპირზე, რომელიც გადის გარკვეულ წერტილში, ეწოდება ამ ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყე წერტილში. .

მოცემული სიბრტყის დასახატად საკმარისია გქონდეთ ორი ტანგენტური ხაზი, ანუ ორი მრუდი ზედაპირზე. ეს შეიძლება იყოს მრუდები, რომლებიც მიღებულია მოცემული ზედაპირის სიბრტყეებით ჭრის შედეგად, (ნახ. 5.8.1).

მოდით დავწეროთ ტანგენსი წრფის განტოლება მრუდის მიმართ, რომელიც მდებარეობს ზედაპირისა და სიბრტყის გადაკვეთაზე. ვინაიდან ეს მრუდი დევს კოორდინატთა სისტემაში, მასზე ტანგენსის განტოლებას წერტილში, 2.7 პუნქტის შესაბამისად, აქვს ფორმა:

. (5.8.1)

შესაბამისად, იმავე წერტილში ზედაპირის გადაკვეთაზე მდებარე მრუდის ტანგენსის განტოლებას კოორდინატთა სისტემაში აქვს ფორმა:

. (5.8.2)

გამოვიყენოთ გამოხატულება იმპლიციტურად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებულისთვის (ნაწილი 5.7). მერე, ეჰ. ამ წარმოებულების (5.8.1) და (5.8.2) ჩანაცვლებით მივიღებთ, შესაბამისად:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

ვინაიდან მიღებული გამონათქვამები სხვა არაფერია, თუ არა წრფეების განტოლებები კანონიკური ფორმით (ნაწილი 15), მაშინ (5.8.3) ვიღებთ მიმართულების ვექტორს. და (5.8.4) – . ჯვარედინი ნამრავლი მისცემს ვექტორს ნორმალურად მოცემულ ტანგენტს და, შესაბამისად, ტანგენს სიბრტყეს:

აქედან გამომდინარეობს, რომ წერტილში ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის განტოლება აქვს ფორმა (პუნქტი 14):

განმარტება 5.8.2 . წერტილის მეშვეობით გავლებული სწორი ხაზი ამ წერტილში ტანგენტის სიბრტყის პერპენდიკულარულ ზედაპირს ზედაპირის ნორმალური ეწოდება.

ვინაიდან ნორმალურის მიმართულების ვექტორი ზედაპირის მიმართ ემთხვევა ნორმალურს ტანგენტის სიბრტყეს, ნორმალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

.

სკალარული ველი

მიეცით რეგიონი მითითებული სივრცეში, რომელიც იკავებს ამ სივრცის ნაწილს ან მთელს. დაე, ამ ტერიტორიის თითოეული წერტილი, რაიმე კანონის მიხედვით, დაკავშირებული იყოს გარკვეულ სკალარულ სიდიდესთან (რიცხვთან).

განმარტება 5.9.1 . ფართობს სივრცეში, რომლის თითოეული წერტილი, ცნობილი კანონის თანახმად, დაკავშირებულია გარკვეულ სკალარული სიდიდესთან, ეწოდება სკალარული ველი..

თუ რაიმე სახის კოორდინატთა სისტემა ასოცირდება ფართობთან, მაგალითად, მართკუთხა კარტეზიული, მაშინ თითოეული წერტილი იძენს საკუთარ კოორდინატებს. ამ შემთხვევაში სკალარული სიდიდე ხდება კოორდინატების ფუნქცია: სიბრტყეზე – , სამგანზომილებიან სივრცეში – . თავად ფუნქციას, რომელიც აღწერს ამ ველს, ხშირად უწოდებენ სკალარულ ველს. სივრცის განზომილებიდან გამომდინარე, სკალარული ველი შეიძლება იყოს ბრტყელი, სამგანზომილებიანი და ა.შ.

ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ სკალარული ველის სიდიდე დამოკიდებულია მხოლოდ წერტილის პოზიციაზე რეგიონში, მაგრამ არ არის დამოკიდებული კოორდინატთა სისტემის არჩევანზე.

განმარტება 5.9.2 . სკალარული ველი, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ წერტილის პოზიციაზე რეგიონში, მაგრამ არ არის დამოკიდებული დროზე, ეწოდება სტაციონარული..

არასტაციონარული სკალარული ველები, ანუ დროზე დამოკიდებული, არ განიხილება ამ განყოფილებაში.

სკალარული ველების მაგალითებია ტემპერატურის ველი, წნევის ველი ატმოსფეროში და სიმაღლის ველი ოკეანის დონიდან.

გეომეტრიულად, სკალარული ველები ხშირად წარმოდგენილია ეგრეთ წოდებული ხაზების ან დონის ზედაპირების გამოყენებით.

განმარტება 5.9.3 . სივრცეში ყველა წერტილის ერთობლიობა, სადაც არის სკალარული ველი აქვს იგივე მნიშვნელობა, რომელსაც ეწოდება დონის ზედაპირი ან თანაბარი პოტენციური ზედაპირი. სკალარული ველის ბრტყელ შემთხვევაში, ამ კომპლექტს ეწოდება დონის ხაზი ან ექვიპოტენციალური ხაზი.

ცხადია, დონის ზედაპირის განტოლებას აქვს ფორმა , დონის ხაზები – . ამ განტოლებებში მუდმივი განსხვავებული მნიშვნელობების მიცემით, ჩვენ ვიღებთ ზედაპირების ან დონის ხაზების ოჯახს. Მაგალითად, (ერთმანეთის შიგნით ბუდებული სფეროები სხვადასხვა რადიუსით) ან (ელიფსების ოჯახი).

ფიზიკის დონის ხაზების მაგალითებია იზოთერმები (თანაბარი ტემპერატურის ხაზები), იზობარები (თანაბარი წნევის ხაზები); გეოდეზიიდან - თანაბარი სიმაღლის ხაზები და ა.შ.