Uit de formules (6.22) – (6.25) volgt dat wanneer de assen roteren, de traagheidsmomenten veranderen, maar de som van de axiale momenten blijft constant.
Daarom is de waarde van het traagheidsmoment relatief ten opzichte van één as de grootste, dan relatief anders - het kleinste. In dit geval centrifugaal moment ten opzichte van deze assen blijkt gelijk aan nul.
Belangrijkste centrale assen worden assen genoemd die door het zwaartepunt gaan en ten opzichte waarvan het centrifugaalmoment gelijk is aan nul, en axiale momenten ten opzichte daarvan (assen) hebben extreme eigenschappen en worden genoemd belangrijkste centrale traagheidsmomenten. Ten opzichte van één hoofdas is het traagheidsmoment het kleinst betekenis – , ten opzichte van de ander – de grootste.
We zullen deze assen met letters aanduiden u En v. Laten we bovenstaande bewering bewijzen. Laat de bijlen X En j– centrale assen van een asymmetrische doorsnede (Fig. 6.12).
Laten we de positie van de hoofdassen bepalen door de centrale assen te roteren over een hoek waarbij het centrifugaalmoment gelijk wordt aan nul.
.
Vervolgens uit formule (6.25)
. (6.26)
Formule (6.26) bepaalt de positie van de hoofdassen, waarbij de hoek is waarover de centrale assen moeten worden geroteerd zodat ze de hoofdassen worden. Negatieve hoeken worden met de klok mee vanaf de as uitgezet X.
Nu zullen we laten zien dat axiale traagheidsmomenten ten opzichte van de hoofdassen de eigenschap hebben extreem te zijn. Laten we de afgeleide van de uitdrukking berekenen (formule 6.22) en deze gelijkstellen aan nul:
(6.27)
Als we uitdrukkingen (6.27) vergelijken met (6.25) stellen we dat vast
.
Hieruit volgt dat de afgeleide verdwijnt wanneer , wat betekent dat de extreme waarden traagheidsmomenten hebben rond de hoofdassen u En v. Vervolgens volgens formules (6.22) en (6.23):
(6.28)
Met behulp van formules (6.28) bepalen we belangrijkste centrale traagheidsmomenten.
Als we de formules (6.28) term voor term toevoegen, dan geldt uiteraard . Als we de hoek uitsluiten van formules (6.28), krijgen we een handiger formule voor de belangrijkste centrale traagheidsmomenten:
Het “+” teken vóór de tweede term in (6.29) verwijst naar , het “-” teken verwijst naar .
Het is nuttig om rekening te houden met speciale gevallen:
Als de figuur dat heeft twee symmetrieassen, dan zijn deze assen dat wel belangrijkste centrale assen.
2. Voor reguliere cijfers – gelijkzijdige driehoek, vierkant, cirkel, enz., met meer dan twee symmetrieassen, alle centrale assen zijn hoofdassen, en de traagheidsmomenten ten opzichte daarvan zijn gelijk aan elkaar.
Het vermogen om de positie van de belangrijkste centrale assen te vinden en te berekenen en is noodzakelijk om te bepalen vlak met de grootste stijfheid van de sectie(waarvan het spoor samenvalt met de as) bij het berekenen van de buiging (hoofdstuk 7).
35. Algemene procedure voor het bepalen van de hoofdcentrale
Momenten.
Laat het nodig zijn vind de positie van de centrale hoofdassen en bereken de traagheidsmomenten ten opzichte daarvan voor een vlak gedeelte bestaande uit een kanaal en een strook (Fig. 6.13):
Teken een willekeurig coördinatensysteem xOj.
Verdeel de doorsnede in eenvoudige figuren en gebruik formules (6.5) om de positie van het zwaartepunt te bepalen MET.
Vind de traagheidsmomenten van eenvoudige figuren ten opzichte van hun eigen centrale assen met behulp van een assortiment of formules.
Door het punt MET centrale assen tekenen x c En y c evenwijdig aan de assen van eenvoudige figuren.
Bepaal de traagheidsmomenten van eenvoudige figuren ten opzichte van de centrale assen van de doorsnede met behulp van de parallelle vertaalformules (6.13).
Bepaal de centrale traagheidsmomenten van de hele sectie als de som van de overeenkomstige momenten van eenvoudige figuren gevonden in stap 5.
Bereken de hoek met behulp van formule (6.26) en door de assen te draaien x c En y c geef onder een hoek de hoofdassen weer u En v.
Gebruik formules (6.29) om en te berekenen.
Controleren:
b) indien;
36) Algemene procedure voor het bepalen van de belangrijkste centrale traagheidsmomenten. Voorbeeld:
1. Als een figuur twee symmetrieassen heeft, dan zijn deze assen de GCO.
2. Voor reguliere figuren (die meer dan twee assen hebben) zijn alle assen de hoofdassen
3. Teken hulpassen (X’ O’ Y’)
4. We splitsen deze sectie op in eenvoudige figuren en laten hun eigen CO's zien.
5. Zoek de positie van de GCO met behulp van formule (21)
6. Bereken de GCM-waarden met formule (23)
Imax + Imin = Ix + Iy
· Imax >Ix>Iy>Iminif Ix>Iy
Iuv = Ix-Iy/2 sin2a + Ixycos2a +0
Formule 21:Tg2a = - 2Ixy/Ix - Iy
Formule 23: Imax, Imin = *
37) Buig. Classificatie van soorten buigen. Rechte en zuivere bocht. Afbeelding van balkvervorming. Neutrale laag en as. Basisaannames.
Buigen is een vervorming waarbij in de doorsnede een buigmoment Mx optreedt. Balk die werkt op buigbalk
Soorten buigen:
Er is sprake van zuivere buiging als er in de doorsnede slechts een buigmoment optreedt
Dwarsbuigen - als er gelijktijdig met het moment een dwarskracht optreedt
Plat - alle ladingen liggen in hetzelfde vlak
Ruimtelijk - als alle belastingen in verschillende langsvlakken liggen
Direct - als het krachtvlak samenvalt met een van de hoofdtraagheidsassen
Schuin - als het krachtvlak niet samenvalt met een van de hoofdassen
Als gevolg van vervorming op het gebied van pure buiging kun je zien:
Longitudinale vezels zijn gebogen langs een cirkelboog: sommige zijn ingekort, andere zijn verlengd; daartussen bevindt zich een laag vezels die hun lengte niet veranderen - de neutrale laag (n.s.), de lijn van zijn snijpunt met het dwarsdoorsnedevlak wordt de neutrale as (n.a.) genoemd.
De afstand tussen de longitudinale vezels verandert niet
De dwarsdoorsneden roteren, terwijl ze recht blijven, over een bepaalde hoek
Aannames:
1. Door de longitudinale vezels tegen elkaar te drukken, d.w.z. elke vezel bevindt zich in een staat van eenvoudige spanning of compressie, wat gepaard gaat met het optreden van normale spanningen Ϭ
2. Over de geldigheid van de Bernouli-hypothese, d.w.z. liggersecties die vóór vervorming vlak en loodrecht op de as zijn, blijven na vervorming vlak en loodrecht op de as
assen, waarover het centrifugaaltraagheidsmoment gelijk is aan nul wordt genoemd hoofdassen(soms genoemd hoofdtraagheidsassen). Door elk punt in het doorsnedevlak kan in het algemeen een paar hoofdassen worden getekend (in sommige speciale gevallen kunnen er een oneindig aantal zijn). Laten we, om de geldigheid van deze bewering te verifiëren, bekijken hoe het centrifugaaltraagheidsmoment verandert wanneer de assen 90 inch worden gedraaid (Fig. b.7). Voor een willekeurig gebied dA, genomen in het eerste kwadrant van de xOy assensysteem, beide coördinaten, en daarom is hun product positief. In het nieuwe coördinatensysteem x, Oy, 90' geroteerd ten opzichte van het origineel, is het product van de coördinaten van de betreffende site negatief. Absolute waarde dit product verandert niet, d.w.z. xy = - x1y,. Blijkbaar , hetzelfde geldt voor elke andere elementaire site. Dit betekent dat het teken van de som dAxy, dat het centrifugale traagheidsmoment van de sectie is, naar het tegenovergestelde verandert wanneer de assen 90" worden gedraaid, d.w.z. J = = - J.
Tijdens de rotatie van de assen verandert het centrifugale traagheidsmoment doorlopend, daarom wordt deze op een bepaalde positie van de assen gelijk aan nul. Deze assen zijn de belangrijkste.
Hoewel we hebben vastgesteld dat de hoofdassen door elk punt van de sectie kunnen worden getrokken, zijn alleen die assen die door het zwaartepunt van de sectie gaan van praktisch belang - belangrijkste centrale assen. In wat volgt, zullen we ze in de regel kortheidshalve gewoon noemen hoofdassen, het weglaten van het woord "centraal".
In het algemene geval van secties met een willekeurige vorm is het noodzakelijk om een speciaal onderzoek uit te voeren om de positie van de hoofdassen te bepalen. Hier beperken we ons tot het beschouwen van speciale gevallen van doorsneden die ten minste één symmetrieas hebben (Fig. 6.8).
Wij begeleiden u er doorheen. het zwaartepunt van de doorsnede is de Ox-as, loodrecht op de symmetrieas Oy, en bepalen het centrifugale traagheidsmoment J. Laten we de eigenschap gebruiken van een bepaalde integraal die bekend is uit de loop van de wiskunde (de integraal van een som is gelijk aan de som van integralen) en vertegenwoordigt J s in de vorm van twee termen:
aangezien er voor elk elementair gebied dat zich rechts van de symmetrie-as bevindt, een corresponderend gebied aan de linkerkant bestaat, waarvoor het product van de coördinaten alleen in teken verschilt.
Het centrifugale traagheidsmoment ten opzichte van de Ox- en Oy-assen bleek dus gelijk aan nul, d.w.z. dit hoofdassen. Om de hoofdassen van een symmetrische doorsnede te vinden, volstaat het dus om de positie van het zwaartepunt te vinden. Een van de centrale hoofdassen is de symmetrieas, de tweede as staat er loodrecht op. Uiteraard blijft het bovenstaande bewijs geldig als de as loodrecht op de symmetrieas niet door het zwaartepunt van de sectie gaat, d.w.z. De symmetrieas en elke loodrecht daarop vormen een systeem van hoofdassen.
Niet-centrale hoofdassen zijn, zoals reeds aangegeven, niet van belang.
Axiale traagheidsmomenten rond de centrale hoofdassen worden genoemd belangrijkste centraal(of kortweg de belangrijkste) momenten van traagheid. Het traagheidsmoment is maximaal ten opzichte van een van de hoofdassen en minimaal ten opzichte van de andere. Voor het gedeelte getoond in Fig. 6,8, het maximale traagheidsmoment J
(ten opzichte van de Ox-as). Als we het hebben over het uiteinde van de belangrijkste traagheidsmomenten, bedoelen we natuurlijk alleen hun vergelijking met andere traagheidsmomenten, berekend ten opzichte van de assen die daar doorheen gaan. hetzelfde sectiepunt. Het feit dat een van de belangrijkste traagheidsmomenten maximaal is en de andere minimaal, kan dus worden beschouwd als een verklaring voor het feit dat ze (en de bijbehorende assen) hoofdtraagheidsmomenten worden genoemd. De gelijkheid aan nul van het centrifugaaltraagheidsmoment ten opzichte van de hoofdassen is een handig teken om dit te vinden. Sommige soorten secties, bijvoorbeeld cirkel, vierkant, regelmatige zeshoek, enz. (Fig. 6.9), hebben talloze centrale hoofdassen. Voor deze secties is elke centrale as de hoofdas.
Zonder bewijs te leveren, wijzen we erop dat als de twee belangrijkste centrale traagheidsmomenten van een sectie gelijk zijn, voor deze sectie elke centrale as de hoofdas is en dat alle belangrijkste centrale traagheidsmomenten hetzelfde zijn.
Uit de formules (6.29) - (6.31) blijkt duidelijk dat wanneer de coördinaatassen worden geroteerd, het centrifugaaltraagheidsmoment van teken verandert, en daarom is er een positie van de assen waarbij het centrifugaalmoment gelijk is aan nul.
De assen waaromheen het centrifugaaltraagheidsmoment van de sectie verdwijnt, worden de hoofdassen genoemd, en de hoofdassen die door het zwaartepunt van de sectie gaan, worden genoemd belangrijkste centrale traagheidsassen van de sectie.
De traagheidsmomenten rond de hoofdtraagheidsassen van de sectie worden genoemd belangrijkste traagheidsmomenten van de sectie en worden aangeduid met I 1 En I 2 En I 1 > I 2 . Als het over hoofdmomenten gaat, bedoelen ze meestal axiale traagheidsmomenten rond de belangrijkste centrale traagheidsassen.
Laten we aannemen dat de assen u En v belangrijkste. Dan
|
|
.Vergelijking (6.32) bepaalt de positie van de hoofdtraagheidsassen van de sectie op een bepaald punt ten opzichte van de oorspronkelijke coördinaatassen. Bij het roteren van de coördinaatassen veranderen ook de axiale traagheidsmomenten. Laten we de positie van de assen vinden ten opzichte waarvan de axiale traagheidsmomenten extreme waarden bereiken. Om dit te doen nemen we de eerste afgeleide van Iu Door α en stel deze gelijk aan nul:
.
De aandoening leidt ook tot hetzelfde resultaat dIv/Dα . Als we de laatste uitdrukking vergelijken met formule (6.32), komen we tot de conclusie dat de hoofdtraagheidsassen de assen zijn waarrond de axiale traagheidsmomenten van de doorsnede extreme waarden bereiken.
Om de berekening van de belangrijkste traagheidsmomenten te vereenvoudigen, worden de formules (6.29) - (6.31) getransformeerd, waarbij trigonometrische functies ervan worden uitgesloten met behulp van relatie (6.32):
|
|
.Het plusteken voor het radicaal komt overeen met groter I 1 en het minteken is kleiner I 2 van de traagheidsmomenten van de sectie.
Laten we wijzen op een belangrijke eigenschap van secties waarin de axiale traagheidsmomenten ten opzichte van de hoofdassen hetzelfde zijn. Laten we aannemen dat de assen j En z voornaamst ( Iyz=0), en Ij=Iz. Vervolgens, volgens gelijkheden (6.29) - (6.31), voor elke rotatiehoek van de assen α centrifugaal traagheidsmoment Iuv=0, en axiaal Iu= Iv.
Dus als de traagheidsmomenten van de sectie rond de hoofdassen hetzelfde zijn, dan zijn alle assen die door hetzelfde punt van de sectie gaan de hoofdassen en zijn de axiale traagheidsmomenten rond al deze assen hetzelfde: Iu= Iv= Ij= Iz. Deze eigenschap hebben bijvoorbeeld vierkante, ronde en ringvormige profielen.
Formule (6.33) is vergelijkbaar met formules (3.25) voor hoofdspanningen. Bijgevolg kunnen de belangrijkste traagheidsmomenten grafisch worden bepaald met de methode van Mohr.
Met de formules (31.5), (32.5) en (34.5) kunnen we vaststellen hoe de waarden van de traagheidsmomenten van de sectie veranderen wanneer de assen over een willekeurige hoek a worden geroteerd. Voor sommige waarden van hoek a bereiken de waarden van de axiale traagheidsmomenten een maximum en een minimum. Extreme (maximale en minimale) waarden van de axiale traagheidsmomenten van de sectie worden de belangrijkste traagheidsmomenten genoemd. De assen waaromheen de axiale traagheidsmomenten extreme waarden hebben, worden de hoofdtraagheidsassen genoemd.
Uit formule (33.5) volgt dat als het axiale traagheidsmoment ten opzichte van een bepaalde as maximaal is (d.w.z. deze as is de hoofdas), het axiale traagheidsmoment ten opzichte van de as loodrecht daarop minimaal is (d.w.z. deze as is ook de hoofdas), zodat de som van de axiale traagheidsmomenten rond twee onderling loodrechte assen niet afhankelijk is van de hoek a.
De hoofdtraagheidsassen staan dus onderling loodrecht.
Om de belangrijkste traagheidsmomenten en de positie van de hoofdtraagheidsassen te vinden, bepalen we de eerste afgeleide met betrekking tot de hoek a uit het traagheidsmoment [zie. formule (31.5) en Afb. 19.5]:
We stellen dit resultaat gelijk aan nul:
waar is de hoek waarmee de coördinaatassen y moeten worden geroteerd zodat ze samenvallen met de hoofdassen.
Als we uitdrukkingen (35.5) en (34.5) vergelijken, stellen we dat vast
Bijgevolg is het centrifugaaltraagheidsmoment ten opzichte van de hoofdtraagheidsassen nul. Daarom kunnen de hoofdtraagheidsassen assen worden genoemd waaromheen het centrifugaaltraagheidsmoment gelijk is aan nul.
Zoals reeds bekend is, is het centrifugale traagheidsmoment van de doorsnede ten opzichte van de assen, waarvan er één of beide samenvallen met de symmetrieassen, gelijk aan nul.
Bijgevolg zijn onderling loodrechte assen, waarvan er één of beide samenvallen met de symmetrieassen van de sectie, altijd de hoofdtraagheidsassen. Deze regel maakt het in veel gevallen mogelijk om direct (zonder berekening) de positie van de hoofdassen vast te stellen.
Laten we vergelijking (35.5) oplossen met betrekking tot de hoek
In elk specifiek geval wordt aan vergelijking (36.5) voldaan door een aantal waarden. Als het positief is, moet de as, om de positie van een van de hoofdtraagheidsassen daaruit te bepalen, een hoek tegen de klok in worden gedraaid, en als deze negatief is, dan met de klok mee; de andere hoofdtraagheidsas staat loodrecht op de eerste. Een van de hoofdtraagheidsassen is de maximale as (ten opzichte daarvan is het axiale traagheidsmoment van de sectie maximaal), en de andere is de minimale as (ten opzichte daarvan is het axiale traagheidsmoment van de sectie minimaal ).
De maximale as maakt altijd een kleinere hoek met die van de assen (y of ), ten opzichte waarvan het axiale traagheidsmoment een grotere waarde heeft. Deze omstandigheid maakt het gemakkelijk om vast te stellen welke van de hoofdtraagheidsassen de maximale as is, en welke de minimale as. Dus als bijvoorbeeld de hoofdtraagheidsassen en en v zich bevinden, zoals weergegeven in Fig. 20.5, dan is de as de maximale as (aangezien deze een kleinere hoek vormt met de y-as dan met de as), en is de v-as de minimale as.
Bij het oplossen van een specifiek numeriek probleem om de belangrijkste traagheidsmomenten te bepalen, kunt u de geselecteerde hoekwaarde en de waarde vervangen door formule (31.5) of (32.5).
Laten we dit probleem in algemene vorm oplossen. Met behulp van formules uit de trigonometrie, met behulp van uitdrukking (36.5), vinden we
Door deze uitdrukkingen in formule (31.5) te vervangen, verkrijgen we na eenvoudige transformaties
De hoofdtraagheidsassen kunnen door elk punt in het doorsnedevlak worden getrokken. Alleen de hoofdassen die door het zwaartepunt van de sectie lopen, dat wil zeggen de belangrijkste centrale traagheden, zijn echter van praktisch belang voor de berekeningen van structurele elementen. Traagheidsmomenten ten opzichte van deze assen (de belangrijkste centrale traagheidsmomenten) zullen verder worden aangeduid als
Laten we een aantal speciale gevallen bekijken.
1. Als formule (34.5) vervolgens de waarde geeft van het centrifugaaltraagheidsmoment ten opzichte van elk paar onderling loodrechte assen gelijk aan nul, en daarom zijn alle assen verkregen door het roteren van het coördinatensysteem de hoofdtraagheidsassen (ook als de assen). In dit geval
2. Voor figuren met meer dan twee symmetrieassen zijn de axiale traagheidsmomenten rond alle centrale assen gelijk. Laten we inderdaad een van de assen () langs een van de symmetrieassen richten, en de andere - loodrecht daarop. Voor deze assen Als een figuur meer dan twee symmetrieassen heeft, maakt één ervan een scherpe hoek met de as. Laten we een dergelijke as en de as loodrecht daarop aanduiden
Centrifugaal traagheidsmoment omdat de as de symmetrieas is. Volgens formule (34.5).
Taak 5.3.1: Van een sectie zijn de axiale traagheidsmomenten van de sectie ten opzichte van de assen bekend x1, y1, x2: , . Axiaal traagheidsmoment rond de as j2 gelijkwaardig...
1) 1000 cm4; 2) 2000 cm4; 3) 2500 cm4; 4) 3000 cm4.
Oplossing: Het juiste antwoord is 3). De som van de axiale traagheidsmomenten van het profiel ten opzichte van twee onderling loodrechte assen wanneer de assen over een bepaalde hoek worden geroteerd, blijft constant, dat wil zeggen
Na het vervangen van de gegeven waarden krijgen we:
Taak 5.3.2: Van de aangegeven centrale assen van het gedeelte met een gelijke hoekhoek zijn de belangrijkste...
1) x3; 2) alles; 3) x1; 4) x2.
Oplossing: Het juiste antwoord is 4). Voor symmetrische doorsneden zijn de symmetrieassen de hoofdtraagheidsassen.
Taak 5.3.3: Hoofdtraagheidsassen...
- 1) kan alleen worden getekend door punten die op de symmetrieas liggen;
- 2) kan alleen door het zwaartepunt van een plat figuur worden getrokken;
- 3) dit zijn de assen waaromheen de traagheidsmomenten van een platte figuur gelijk zijn aan nul;
- 4) kan door elk punt van een platte figuur worden getrokken.
Oplossing: Het juiste antwoord is 4). De figuur toont een willekeurige platte figuur. Door het punt MET Er worden twee onderling loodrechte assen getekend U En V.
In de cursus over de sterkte van materialen is bewezen dat als deze assen worden geroteerd, hun positie kan worden bepaald waarbij het centrifugale traagheidsmoment van het gebied nul wordt en de traagheidsmomenten rond deze assen extreme waarden aannemen. Dergelijke assen worden hoofdassen genoemd.
Taak 5.3.4: Van de aangegeven centrale assen zijn de hoofdsectie-assen...
1) alles; 2) x1 En x3; 3) x2 En x3; 4)x2 En x4.
Oplossing: Het juiste antwoord is 1). Voor symmetrische doorsneden zijn de symmetrieassen de hoofdtraagheidsassen.
Taak 5.3.5: Assen waaromheen het centrifugaaltraagheidsmoment nul is en de axiale momenten extreme waarden aannemen, worden genoemd...
- 1) centrale assen; 2) symmetrieassen;
- 3) centrale hoofdassen; 4) hoofdassen.
Oplossing: Het juiste antwoord is 4). Wanneer de coördinaatassen over een hoek b worden geroteerd, veranderen de traagheidsmomenten van de sectie.
Laat de traagheidsmomenten van de sectie ten opzichte van de coördinaatassen gegeven worden X, j. Vervolgens de traagheidsmomenten van de sectie in het stelsel van coördinaatassen u, v, onder een bepaalde hoek geroteerd ten opzichte van de assen X, j, zijn gelijk
Bij een bepaalde waarde van de hoek wordt het centrifugale traagheidsmoment van de sectie nul en nemen de axiale traagheidsmomenten extreme waarden aan. Deze assen worden hoofdassen genoemd.
Taak 5.3.6: Traagheidsmoment van de sectie rond de centrale hoofdas xC gelijkwaardig...
1); 2) ; 3) ; 4) .
Oplossing: Het juiste antwoord is 2)
Om te berekenen gebruiken we de formule
