Antiderivatieve functie en onbepaalde integraal

Feit 1. Integratie is de omgekeerde actie van differentiatie, namelijk het herstellen van een functie uit de bekende afgeleide van deze functie. De functie is daarmee hersteld F(X) wordt genoemd primitief voor functie F(X).

Definitie 1. Functie F(X F(X) op een bepaald interval X, als voor alle waarden X vanaf dit interval geldt de gelijkheid F "(X)=F(X), dat wil zeggen deze functie F(X) is de afgeleide van de primitieve functie F(X). .

De functie bijvoorbeeld F(X) = zonde X is een primitief van de functie F(X) = co X op de gehele getallenlijn, aangezien voor elke waarde van x (zonde X)" = (co X) .

Definitie 2. Onbepaalde integraal van een functie F(X) is de verzameling van al zijn primitieve woorden. In dit geval wordt de notatie gebruikt

∫

F(X)dx

waar is het teken ∫ heet het integraalteken, de functie F(X) – integrandfunctie, en F(X)dx – integrand-expressie.

Dus als F(X) – een primitief voor F(X) , Dat

∫

F(X)dx = F(X) +C

Waar C - willekeurige constante (constante).

Om de betekenis van de verzameling primitieve waarden van een functie als een onbepaalde integraal te begrijpen, is de volgende analogie passend. Laat er een deur zijn (traditionele houten deur). De functie ervan is ‘een deur te zijn’. Waar is de deur van gemaakt? Gemaakt van hout. Dit betekent dat de verzameling primitieve waarden van de integrand van de functie ‘een deur zijn’, dat wil zeggen de onbepaalde integraal ervan, de functie ‘een boom zijn + C’ is, waarbij C een constante is, die in deze context kan geven bijvoorbeeld het type boom aan. Net zoals een deur van hout wordt gemaakt met behulp van bepaalde gereedschappen, wordt een afgeleide van een functie 'gemaakt' van een primitieve functie met behulp van formules die we hebben geleerd tijdens het bestuderen van de afgeleide .

Dan is de tabel met functies van gewone objecten en hun overeenkomstige primitieve woorden (“een deur zijn” - “een boom zijn”, “een lepel zijn” - “metaal zijn”, enz.) vergelijkbaar met de tabel met basisfuncties onbepaalde integralen, die hieronder zullen worden gegeven. De tabel met onbepaalde integralen somt algemene functies op met een indicatie van de primitieve waarden waaruit deze functies zijn "gemaakt". In een deel van de problemen bij het vinden van de onbepaalde integraal worden integranden gegeven die zonder veel moeite direct kunnen worden geïntegreerd, dat wil zeggen met behulp van de tabel met onbepaalde integralen. Bij complexere problemen moet de integrand eerst worden getransformeerd zodat tabelintegralen kunnen worden gebruikt.

Feit 2. Bij het herstellen van een functie als primitief moeten we rekening houden met een willekeurige constante (constante) C, en om geen lijst van primitieve getallen te schrijven met verschillende constanten van 1 tot oneindig, moet je een reeks primitieve getallen schrijven met een willekeurige constante C bijvoorbeeld zo: 5 X³+C. Er is dus een willekeurige constante (constante) opgenomen in de uitdrukking van het primitief, aangezien het primitief een functie kan zijn, bijvoorbeeld 5 X³+4 of 5 X³+3 en bij differentiatie gaat 4 of 3, of een andere constante naar nul.

Laten we het integratieprobleem stellen: voor deze functie F(X) zo'n functie vinden F(X), waarvan de afgeleide gelijk aan F(X).

Voorbeeld 1. Zoek de verzameling primitieve woorden van een functie

Oplossing. Voor deze functie is de primitief de functie

Functie F(X) wordt een primitief voor de functie genoemd F(X), als de afgeleide F(X) is gelijk aan F(X), of, wat hetzelfde is, differentieel F(X) is gelijk F(X) dx, d.w.z.

(2)

Daarom is de functie een primitief van de functie. Het is echter niet het enige primitief voor . Ze dienen ook als functies

Waar MET– willekeurige constante. Dit kan worden geverifieerd door differentiatie.

Dus als er één primitief voor een functie is, dan zijn er daarvoor een oneindig aantal primitieve woorden die met een constante term van elkaar verschillen. Alle primitieve woorden voor een functie zijn in de bovenstaande vorm geschreven. Dit volgt uit de volgende stelling.

Stelling (formele verklaring van feit 2). Als F(X) – primitief voor de functie F(X) op een bepaald interval X, dan enig ander primitief voor F(X) op hetzelfde interval kan in de vorm worden weergegeven F(X) + C, Waar MET– willekeurige constante.

In het volgende voorbeeld gaan we naar de tabel met integralen, die in paragraaf 3 zal worden gegeven, na de eigenschappen van de onbepaalde integraal. Dit doen we voordat we de hele tabel lezen, zodat de essentie van het bovenstaande duidelijk is. En na de tabel en eigenschappen zullen we deze in hun geheel gebruiken tijdens de integratie.

Voorbeeld 2. Vind sets van primitieve functies:

Oplossing. We vinden sets van primitieve functies waaruit deze functies zijn "gemaakt". Als we formules uit de tabel met integralen noemen, accepteer dan voorlopig gewoon dat er zulke formules bestaan, en we zullen de tabel met onbepaalde integralen zelf wat verder bestuderen.

1) Toepassing van formule (7) uit de tabel met integralen voor N= 3, krijgen we

2) Gebruik formule (10) uit de tabel met integralen voor N= 1/3, we hebben

3) Sinds

dan volgens formule (7) met N= -1/4 vinden we

Het is niet de functie zelf die onder het integraalteken wordt geschreven F, en zijn product door het differentieel dx. Dit wordt voornamelijk gedaan om aan te geven door welke variabele het primitief wordt gezocht. Bijvoorbeeld,

, ;

hier is in beide gevallen de integrand gelijk aan , maar de onbepaalde integralen blijken in de beschouwde gevallen verschillend te zijn. In het eerste geval wordt deze functie beschouwd als een functie van de variabele X, en in de tweede - als functie van z .

Het proces van het vinden van de onbepaalde integraal van een functie wordt het integreren van die functie genoemd.

Geometrische betekenis van de onbepaalde integraal

Stel dat we een curve moeten vinden y=F(x) en we weten al dat de raaklijn van de raakhoek op elk van zijn punten een gegeven functie is f(x) abscis van dit punt.

Volgens de geometrische betekenis van de afgeleide, de raaklijn van de raakhoek op een bepaald punt op de curve y=F(x) gelijk aan de waarde van het derivaat F"(x). We moeten dus een dergelijke functie vinden F(x), waarvoor F"(x)=f(x). Functie vereist in de taak F(x) is een primitief van f(x). Aan de voorwaarden van het probleem wordt niet voldaan door één curve, maar door een familie van curven. y=F(x)- een van deze curven, en elke andere curve, kan daaruit worden verkregen door parallelle translatie langs de as Oei.

Laten we de grafiek van de primitieve functie van noemen f(x) integrale kromme. Als F"(x)=f(x), dan de grafiek van de functie y=F(x) er is een integrale curve.

Feit 3. De onbepaalde integraal wordt geometrisch weergegeven door de familie van alle integrale krommen , zoals op de onderstaande afbeelding. De afstand van elke curve tot de oorsprong van de coördinaten wordt bepaald door een willekeurige integratieconstante C.

Eigenschappen van de onbepaalde integraal

Feit 4. Stelling 1. De afgeleide van een onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand, en zijn differentiaal is gelijk aan de integrand.

Feit 5. Stelling 2. Onbepaalde integraal van het differentieel van een functie F(X) is gelijk aan de functie F(X) tot een constante termijn , d.w.z.

(3)

Stellingen 1 en 2 laten zien dat differentiatie en integratie wederzijds inverse operaties zijn.

Feit 6. Stelling 3. De constante factor in de integrand kan uit het teken van de onbepaalde integraal worden gehaald , d.w.z.

Het oplossen van integralen is een gemakkelijke taak, maar slechts voor een select groepje. Dit artikel is bedoeld voor degenen die integralen willen leren begrijpen, maar er niets of bijna niets van weten. Integraal... Waarom is het nodig? Hoe het berekenen? Wat zijn bepaalde en onbepaalde integralen?

Als het enige gebruik dat je kent voor een integraal het gebruik van een haaknaald in de vorm van een integraalpictogram is om iets nuttigs uit moeilijk bereikbare plaatsen te halen, dan ben je welkom! Ontdek hoe je de eenvoudigste en andere integralen oplost en waarom je in de wiskunde niet zonder kunt.

Wij bestuderen het concept « integraal »

Integratie was al bekend in het oude Egypte. Natuurlijk niet in zijn moderne vorm, maar toch. Sindsdien hebben wiskundigen veel boeken over dit onderwerp geschreven. Bijzonder onderscheidend Newton En Leibniz , maar de essentie van de dingen is niet veranderd.

Hoe integralen helemaal opnieuw begrijpen? Echt niet! Om dit onderwerp te begrijpen, heb je nog steeds een basiskennis van de basisprincipes van wiskundige analyse nodig. We hebben al informatie over , noodzakelijk voor het begrijpen van integralen, op onze blog.

Onbepaalde integraal

Laten we een functie hebben f(x) .

Onbepaalde integrale functie f(x) deze functie heet F(x) , waarvan de afgeleide gelijk is aan de functie f(x) .

Met andere woorden, een integraal is een omgekeerde afgeleide of een primitief. Lees trouwens hoe in ons artikel.

Er bestaat een primitief voor alle continue functies. Ook wordt vaak een constant teken aan de primitief toegevoegd, omdat de afgeleiden van functies die met een constante verschillen samenvallen. Het proces van het vinden van de integraal wordt integratie genoemd.

Eenvoudig voorbeeld:

Om niet voortdurend primitieve waarden van elementaire functies te berekenen, is het handig om ze in een tabel te plaatsen en kant-en-klare waarden te gebruiken.

Volledige tabel met integralen voor studenten

Bepaalde integraal

Als we te maken hebben met het concept van een integraal, hebben we te maken met oneindig kleine hoeveelheden. De integraal helpt bij het berekenen van de oppervlakte van een figuur, de massa van een niet-uniform lichaam, de afgelegde afstand tijdens ongelijkmatige beweging en nog veel meer. We moeten niet vergeten dat een integraal de som is van een oneindig groot aantal oneindig kleine termen.

Stel je bijvoorbeeld een grafiek voor van een bepaalde functie.

Hoe vind je de oppervlakte van een figuur die wordt begrensd door de grafiek van een functie? Een integraal gebruiken! Laten we het kromlijnige trapezium, begrensd door de coördinaatassen en de grafiek van de functie, verdelen in oneindig kleine segmenten. Op deze manier wordt de figuur in dunne kolommen verdeeld. De som van de gebieden van de kolommen is het gebied van de trapezium. Maar onthoud dat een dergelijke berekening een benaderend resultaat zal opleveren. Hoe kleiner en smaller de segmenten, hoe nauwkeuriger de berekening zal zijn. Als we ze zo ver verkleinen dat de lengte naar nul neigt, zal de som van de gebieden van de segmenten naar het gebied van de figuur neigen. Dit is een bepaalde integraal, die als volgt wordt geschreven:

Punten a en b worden integratiegrenzen genoemd.

« Integraal »

Trouwens! Voor onze lezers geldt er nu 10% korting op

Regels voor het berekenen van integralen voor dummies

Eigenschappen van de onbepaalde integraal

Hoe los je een onbepaalde integraal op? Hier zullen we kijken naar de eigenschappen van de onbepaalde integraal, wat handig zal zijn bij het oplossen van voorbeelden.

• De afgeleide van de integraal is gelijk aan de integrand:

• De constante kan onder het integraalteken vandaan worden gehaald:

• De integraal van de som is gelijk aan de som van de integralen. Dit geldt ook voor het verschil:

Eigenschappen van een bepaalde integraal

• Lineariteit:

• Het teken van de integraal verandert als de grenzen van integratie worden verwisseld:

• Bij elk punten A, B En Met:

We hebben al ontdekt dat een bepaalde integraal de limiet van een som is. Maar hoe krijg je een specifieke waarde bij het oplossen van een voorbeeld? Hiervoor is er de Newton-Leibniz-formule:

Voorbeelden van het oplossen van integralen

Hieronder zullen we de onbepaalde integraal en voorbeelden met oplossingen bekijken. We raden u aan om zelf de fijne kneepjes van de oplossing uit te zoeken en als iets onduidelijk is, kunt u vragen stellen in de opmerkingen.

Om het materiaal te versterken, bekijk een video over hoe integralen in de praktijk worden opgelost. Wanhoop niet als de integraal niet meteen wordt gegeven. Neem contact op met een professionele dienst voor studenten en elke drievoudige of gebogen integraal over een gesloten oppervlak ligt binnen uw macht.

>>Integratiemethoden

Basisintegratiemethoden

Definitie van integraal, bepaalde en onbepaalde integraal, tabel met integralen, Newton-Leibniz-formule, integratie in delen, voorbeelden van het berekenen van integralen.

Onbepaalde integraal

Er wordt een functie F(x) aangeroepen die differentieerbaar is in een gegeven interval X primitief van de functie f(x), of de integraal van f(x), als voor elke x ∈X de volgende gelijkheid geldt:

F " (x) = f(x). (8.1)

Het vinden van alle primitieve functies voor een bepaalde functie wordt zijn genoemd integratie. Onbepaalde integrale functie f(x) op een gegeven interval is X de verzameling van alle primitieve functies voor de functie f(x); aanduiding -

Als F(x) een primitief is van de functie f(x), dan is ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

waarbij C een willekeurige constante is.

Tabel met integralen

Direct uit de definitie verkrijgen we de belangrijkste eigenschappen van de onbepaalde integraal en de lijst met integralen in tabelvorm:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lijst met integralen in tabelvorm

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = boogsin x + C

10. = - ctg x + C

Variabele vervanging

Om veel functies te integreren, gebruikt u de variabele vervangingsmethode of vervangingen, waardoor u integralen kunt reduceren tot tabelvorm.

Als de functie f(z) continu is op [α,β], heeft de functie z =g(x) een continue afgeleide en α ≤ g(x) ≤ β, dan

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8,3)

Bovendien moet na integratie aan de rechterkant de substitutie z=g(x) worden gemaakt.

Om dit te bewijzen, volstaat het om de oorspronkelijke integraal in de vorm te schrijven:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Bijvoorbeeld:

1)

2) .

Wijze van integratie door delen

Laat u = f(x) en v = g(x) functies zijn met continu . Vervolgens, volgens het werk,

d(uv))= udv + vdu of udv = d(uv) - vdu.

Voor de uitdrukking d(uv) zal de primitief uiteraard uv zijn, dus de formule geldt:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Deze formule drukt de regel uit integratie in delen. Het leidt de integratie van de uitdrukking udv=uv"dx naar de integratie van de uitdrukking vdu=vu"dx.

Stel dat u bijvoorbeeld ∫xcosx dx wilt vinden. Laten we stellen u = x, dv = cosxdx, dus du=dx, v=sinx. Dan

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

De regel van integratie door delen heeft een beperktere reikwijdte dan vervanging van variabelen. Maar er zijn hele klassen integralen, bijvoorbeeld

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax en andere, die nauwkeurig worden berekend met behulp van partiële integratie.

Bepaalde integraal

Het concept van een bepaalde integraal wordt als volgt geïntroduceerd. Laat de functie f(x) gedefinieerd worden op het interval. Laten we het segment [a,b] verdelen in N delen per punt a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x ik = x ik - x ik-1. Een som van de vorm f(ξ i)Δ x i wordt genoemd integrale som, en zijn limiet bij λ = maxΔx i → 0, als deze bestaat en eindig is, wordt genoemd bepaalde integraal functies f(x) van A voor B en wordt aangeduid:

F(ξi)Δxi (8,5).

In dit geval wordt de functie f(x) aangeroepen integreerbaar op het interval, worden de nummers a en b genoemd onder- en bovengrenzen van de integraal.

De volgende eigenschappen gelden voor een bepaalde integraal:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

De laatste eigenschap wordt aangeroepen gemiddelde waardestelling.

Laat f(x) continu zijn op . Dan is er op dit segment een onbepaalde integraal

∫f(x)dx = F(x) + C

en vindt plaats Newton-Leibniz-formule, die de bepaalde integraal verbindt met de onbepaalde integraal:

F(b) - F(a). (8,6)

Geometrische interpretatie: de definitieve integraal is het gebied van een kromlijnig trapezium dat van bovenaf wordt begrensd door de curve y=f(x), rechte lijnen x = a en x = b en een segment van de as Os.

Onjuiste integralen

Integralen met oneindige limieten en integralen van discontinue (onbegrensde) functies worden genoemd niet die van jou. Onjuiste integralen van de eerste soort - dit zijn integralen over een oneindig interval, als volgt gedefinieerd:

(8.7)

Als deze limiet bestaat en eindig is, wordt deze aangeroepen convergente oneigenlijke integraal van f(x) op het interval [a,+ ∞), en de functie f(x) wordt aangeroepen integreerbaar over een oneindig interval[a,+ ∞). Anders wordt gezegd dat de integraal is bestaat niet of wijkt af.

Onjuiste integralen op de intervallen (-∞,b] en (-∞, + ∞) worden op dezelfde manier gedefinieerd:

Laten we het concept van een integraal van een onbegrensde functie definiëren. Als f(x) continu is voor alle waarden X segment , behalve het punt c, waar f(x) dus een oneindige discontinuïteit heeft oneigenlijke integraal van de tweede soort f(x) variërend van a tot b het bedrag heet:

als deze grenzen bestaan ​​en eindig zijn. Aanduiding:

Voorbeelden van integraalberekeningen

Voorbeeld 3.30. Bereken ∫dx/(x+2).

Oplossing. Laten we t = x+2 aanduiden, dan dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Voorbeeld 3.31. Zoek ∫ tgxdx.

Oplossing.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Zij t=cosx, dan is ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Oplossing.

Voorbeeld3.33. Vinden .

Oplossing. =

.

Voorbeeld3.34 . Zoek ∫arctgxdx.

Oplossing. Laten we gedeeltelijk integreren. Laten we u=arctgx, dv=dx aanduiden. Dan du = dx/(x 2 +1), v=x, vandaar ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; omdat
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Voorbeeld3.35 . Bereken ∫lnxdx.

Oplossing. Door de formule voor integratie per delen toe te passen, verkrijgen we:
u=lnx, dv=dx, du=1/xdx, v=x. Dan is ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Voorbeeld3.36 . Bereken ∫e x sinxdx.

Oplossing. Laten we u = e x, dv = sinxdx aanduiden, dan du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. We integreren ook de integraal ∫e x cosxdx in delen: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. We hebben:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. We verkregen de relatie ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, waaruit 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Voorbeeld 3.37. Bereken J = ∫cos(lnx)dx/x.

Oplossing. Omdat dx/x = dlnx, dan is J= ∫cos(lnx)d(lnx). Als we lnx vervangen door t, komen we uit bij de tabelintegraal J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Voorbeeld 3.38 . Bereken J = .

Oplossing. Gezien het feit dat = d(lnx), vervangen we lnx = t. Dan J= .

Definitie 1

De primitieve $F(x)$ voor de functie $y=f(x)$ op het segment $$ is een functie die differentieerbaar is op elk punt van dit segment en de volgende gelijkheid geldt voor zijn afgeleide:

Definitie 2

De verzameling van alle primitieve functies van een gegeven functie $y=f(x)$, gedefinieerd op een bepaald segment, wordt de onbepaalde integraal van een gegeven functie $y=f(x)$ genoemd. De onbepaalde integraal wordt aangegeven met het symbool $\int f(x)dx $.

Uit de tabel met afgeleiden en definitie 2 verkrijgen we de tabel met basisintegralen.

voorbeeld 1

Controleer de geldigheid van formule 7 uit de tabel met integralen:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Laten we de rechterkant differentiëren: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

Voorbeeld 2

Controleer de geldigheid van formule 8 uit de tabel met integralen:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Laten we de rechterkant differentiëren: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

De afgeleide bleek gelijk te zijn aan de integrand. Daarom is de formule correct.

Voorbeeld 3

Controleer de geldigheid van formule 11" uit de tabel met integralen:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Laten we de rechterkant differentiëren: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

De afgeleide bleek gelijk te zijn aan de integrand. Daarom is de formule correct.

Voorbeeld 4

Controleer de geldigheid van formule 12 uit de tabel met integralen:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]

Laten we de rechterkant differentiëren: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $De afgeleide bleek gelijk te zijn aan de integrand. Daarom is de formule correct.

Voorbeeld 5

Controleer de geldigheid van formule 13" uit de tabel met integralen:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Laten we de rechterkant differentiëren: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

De afgeleide bleek gelijk te zijn aan de integrand. Daarom is de formule correct.

Voorbeeld 6

Controleer de geldigheid van formule 14 uit de tabel met integralen:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

Laten we de rechterkant differentiëren: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

De afgeleide bleek gelijk te zijn aan de integrand. Daarom is de formule correct.

Voorbeeld 7

Zoek de integraal:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Laten we de somintegraalstelling gebruiken:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Laten we de stelling gebruiken over het plaatsen van een constante factor buiten het integraalteken:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Volgens de tabel met integralen:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Bij het berekenen van de eerste integraal gebruiken we regel 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Vandaar,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]